ĐỊNH LÝ MÊ-NÊ-LA-UYT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1/ Định lí Mê-nê-la-uyt:
Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB sao cho: hoặc cả ba điểm nằm trên phần kéo dài của ba cạnh; hoặc một điểm nằm trên phần kéo dài của một cạnh, còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là:
Chứng minh:
Trường hợp 1: Trong ba điểm M, N, P có đúng hai điểm thuộc cạnh của tam giác, giả sử N và P.
Phần thuận: Giả sử M, N, P thẳng hàng. Ta chứng minh (1).
Kẽ BD // AC ( D MN). Ta có: ,
Suy ra

Phần đảo: Ngược lại, giả sử N, P nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác ABC; M nằm trên phần kéo dài của BC. Gọi M’ là giao điểm của NP và BC, suy ra M’ nằm trên phần kéo dài của BC.
V“ M’ , N, P thẳng hàng nên ta có:
Từ và suy ra . Hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Trường hợp 2: Cả ba điểm M, N, P đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh chứng minh tương tự.

2/ Bài tập vận dụng:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD ( D AC). Trên tia AB lấy một điểm E sao cho AE = 2BE; CE cắt BD tại F. Chứng minh .
Lời giải:
Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt).
Gọi M là trung điểm của AE, suy ra DM là đường trung b“nh của tam giác AEC
và EF // MD F là trung điểm của BD . EF là đường trung b“nh của tam giác BMD . (đpcm)
Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt).
Xét tam giác EAC với ba điểm B, F, D thẳng hàng.
Ta có: (đpcm).

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng CE = BF.
Lời giải:
Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt). Ta giải vắn tắt như sau:
Từ AD // FM và ME // AD
và
Mặt khác theo tính chất đường phân giác có:
Từ và suy ra (do BM = CM ).

Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt)
Xét tam giác ABC với ba điểm F, E, M thẳng hàng ta có:

Do nên ∆ AEF cân ở A. Suy ra AE = AF (2)
Từ và suy ra (đpcm)

Còn đây là SKKN của GV rất nhiều ví dụ nữa (sưu tầm internet). xem và tải về.
Dinh Ly Me Ne La Uyt