Sơ lược Lịch sử Toán học – P5

5. Thế kỉ 17

Hai xu hướng có tính phá hoại trước đây bắt đầu cho quả ngọti trong thế kỉ 17. Xu hướng đầu và hiển nhiên hơn là sự xuất hiện thường xuyên của các cuộc chiến tranh cả lớn lẫn nhỏ về chính trị và tôn giáo., Kể từ thời Thập tự chinh, châu Âu lúc nào cũng chìm trong xáo trộn và hiếm có một năm trôi qua mà không có xung đột ở một nơi nào đó. Như từng thấy trong lịch sử, chiến tranh và đòi hỏi không ngừng nghỉ của nó về các thứ vũ khí mới và tốt hơn đã thúc ép các bộ óc tốt nhất của thời đại thi nhau trong việc sang chế ra các loại máy móc cho chiến trường. Tuy nhiên một khi vũ khí đã được làm ra, những đầu óc tốt thật sự thiết kế ra chúng quay ra việc nghiên cứu máy móc nói chung. Công trình của Leonardo da Vinci là một ví dụ tốt nhất cho điều này. Châu Âu từ từ đi vào giai đoạn đầu của cơ khí hoá, và trong một cố gắng phát triển các kĩ năng kĩ thuật cần thiết, các nhà khoa học và học giả đã chuyển vào nghiên cứu về chuyển động và thay đổi. Xu hướng thứ hai cũng rất mạnh bạo nhưng bắt đầu tinh tế hơn. Việc cải cách tôn giáo khởi xướng bởi Martin Luther ở lục địa châu Âu và bởi vua Henry VIII và con gái là Elizabeth ở Anh đã khơi ngòi cho một sự phản kháng của giới trí thức chống lại nhà cầm quyền và lề thói cũ đã đươc ủ mầm trong nhiều năm. Chủ nghĩa hoài nghi nói chung đã làm trẻ hoá triết học, và các nhà khai phá tư tưỏng đã bức phá về mọi hướng. Thời kì hỗn hợp này của khoa học và chủ nghĩa duy lí đã sản sinh ra nhìều nhân vật vĩ đại của lịch sử – các nhà thiên văn Galileo và Kepler; các nhà triết học Hobbes, Locke và Spinoza; và các tác gia Dryden, Milton và Shakespeare. Toán học đã trải qua một thời kì lớn mạnh chưa từng thấy cho tới thời hiện đại, và số lượng những người đóng góp có ý nghĩa cho sự tiến bộ của khoa học từ lúc này trở nên nhiều đến nổi từ đây trở đi chúng ta buộc phải tự giới hạn vào các nhà toán học sáng tạo hàng đầu mà thôi.

John Napier [Nê-pe] đạt tới đỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào lúc dòng họ Stuarts lên thay cho dòng họ Tudors cai trị nước Anh và William Shakespeare đang trong giai đoạn sung mãn nhất. Ông sinh năm 1550 ở Scotland và là ngưòi cùng thời với Galieo và Kepler, và là một sản phẩm đích thực của thời đó. Gần suột cuộc đời mình, ông lúc thì công kích giáo hội Thiên chúa lúc thì nghiên cứu và thiết kế các thiết bị quân sự và đại bác tự phóng. Nhưng điều làm ông thành bất tử chỉ được xác lập vài năm trước khi ông mất là việc xuất bản quyển Mirifici Logarith-morum canonis Descriptio, trong đó ông đặt nền móng cho lí thuyết logarithm (lô-ga-rit). Hệ thống logarithm của ông hơi khó sử dụng, nhưng nhiều năm sau khi ông mất (vào năm 1617) nó đã dược hoàn thiện bởi Henry Briggs, một người bạn và đồng nghiệp của ông , người lúc đầu đã gợi ý việc dùng cơ số 10. Khá lạ lùng là sự phát triển của lí thuyết logarithm đã đi trước sự phát triển của các hàm mũ khoảng 50 năm.

Không thua kém nước láng giềng bên kia eo biển Anh, nước Pháp đã sản sinh ra 4 nhà toán học xuất sắc trong vòng nửa thế kỉ. Người đầu tiên trong số này là nhà triết học-khoa học René Descartes [Đê- cac] (1596-1650). Nhiều năm nghiên cứu và chiêm nghiệm đã thuyết phục ông là tất cả mọi khoa học đều có liên quan với nhau và chìa khoá cho sự liên quan đó là Toán học. Trong quyển sách nổi tiếng “Discours de la Méthodes”xuất bản vào năm 1637 ông đã nêu: “Chuổi dài các lập luận dễ dàng và đơn giản mà các nhà hình học quen dùng để đi tới các kết luận cho các chứng minh hóc hiểm nhất của họ đã khiến tôi nghĩ rằng tất cả mọi vật, đối với kiến thức mà con người có được, đều dính dáng lẫn nhau theo cùng một cách, và rằng từ trước đến giờ không có cái gì bị loại bỏ khỏi chúng ta lại ở ngoài tầm hiểu biết của chúng ta, hay quá dấu kín đến nổi chúng ta không phát hiện ra được, chỉ miễn là ta kiên dè không chấp nhận cái sai thành cái đúng và luôn luôn gìn giữ trong tư tưởng của mình cái trật tự cần thiết cho sự diễn dịch từ cái đúng này đến cái đúng khác”. Ông giải thích rằng phương pháp của ông là sự hợp nhất của logic, “Giải tích (Hình học) của người xưa”, và “Đại số của người hiện đại”, và đề ra 4 quy tắc cơ bản của quy trình khi nói rằng “Bằng cách này tôi tin rằng tôi có thể vay mượn tất cả cái gì là tốt nhất trong Giải tích hình học và trong Đại số, và chỉnh sửa tất cả các khiếm khuyết của cái này nhờ sự trợ giúp của cái kia.” Nói rằng Descartes đã thành công trong việc hợp nhất tất cả các thứ khoa học là hơi quá đáng, nhưng ông đã làm được việc tái hợp 2 họ toán học lớn là số lượng và hình đạng ở một trong ba phụ chương của quyển “Discours de la Méthode”, có tựa đề đơn giản là “La Géometrie” (Hình học). Đây là ấn bản đầu tiên về Hình học giải tích. Trong phụ chương này ông đã áp dụng phương pháp đại số vào hình học khi biểu diễn và phân loại các đuờng cong và các hình hình học khác bằng các phương trình đại số liên kết với một hệ toạ độ. Ông đã dùng cách tiếp cận đại số này để khảo sát và giải quyết một số các câu hỏi hình học, bao gồm cả vài bài toán cổ điển cho tới lúc đó vẫn còn chưa giải đuợc.

Một đồng hương và cũng là người quen của Descartes là Pierre de Fermat [Fec-ma] (1601-1665), được một số người suy tôn là nhà toán học thuần tuý vĩ đại nhất của thế kỉ 17. Ông chắn chắn là một trong những nhà nghiên cứu khoa học tài tử xuất sắc nhất trong lịch sử. Fermat là một luật sư trầm lặng và không phô trương, một công chức ham thích toán học chỉ như thú vui, công bố ít ỏi nhưng đã bộc lộ khả năng sáng tạo của ông trong khi trao đổi thư từ với Descartes, Mersenne, Pascal và nhiều người khác. Ông phát minh ra hình học giải tích độc lập với Descartes, thai nghén cách tiếp cận toán vi tích phân trước cả khi Newton lẫn Leibniz chưa sinh ra., và là một trong những cha đẻ của lí thuyết toán học về xác suất. Dù các thành tựu nổi trội đó, nhưng ông được biết nhiều nhất qua công trình trong lí thuyết số về tính chất của các số nguyên tố. Thật châm biếm là tên ông lại được gắn thường xuyên với một mệnh đề mà ông không nêu xuất xứ cũng như chứng minh. Trong số nhiều ghi chú bên lề trên một quyển sách ông có (dịch công trình của Diophantus), có một ghi chú cạnh bài toán tìm các giá trị x, y và a thoả phương trình x² + y² = a². Ở ghi chú này ông cho rằng với các số mũ lớn hơn 2 sẽ không có nghiệm nguyên, và tuyên bố rằng ”Tôi đã tìm được một chứng minh thật sự kì diệu [cho điều này] mà lề sách thì quá hẹp không đủ chỗ để ghi ra”. Rủi thay, hình như ông cũng chẳng hề viết nó ở chỗ nào khác, và “định lí cuối cùng của Fermat” vẫn còn được xếp vào trong các bài toán rắc rối nhất chưa giải được cho tới cách đây không lâu.[5]

Người thứ ba trong nhóm này là Gérard Desargues (1593-1662), một quân nhân, một kĩ sư và một nhà hình học. Suốt thời ông còn sống, phần lớn các công trình của ông đều bị che khuất bởi sự quan tâm chung của công chúng đang hướng về các bài viết của Descartes, nhưng hai thế kỉ sau, sách về conic của ông đã đuợc xuất bản lại và được tôn vinh ngay lập tức như là một sách giáo khoa về hình học thuần tuý. Desargues đưa ra cách xử lí hình học về các điểm ở vô tận và nghiên cứu sâu về phối cảnh, và do vậy trở nên nhà sáng lập môn hình học xạ ảnh (chiếu) hiện đại.

Hoàn chỉnh bộ tứ kiệt xuất này là Blaise Pascal (1623-1662). Từ lúc mới 12 tuổi ông đã xem hình học như một trò giải trí, vào tuổi 16 ông đã chứng minh một trong những kết quả đẹp đẽ nhất và khó đạt tới trong hình học (Nếu một hình lục giác nội tiếp trong một conic thì các giao điểm của ba cặp cạnh đối diện thẳng hàng). rồi ứng dụng nó để đúc kết và mở rộng các công trình trước đó trong lĩnh vực này. Ông đã phát minh ra máy tính khi ông 19 tuổi, và vào tuổi 20 ông đã được công nhận như là một nhà vật lí có năng lực. Ông cùng với Fermat là cha đẻ của lí thuyết xác suất, một môn học mà hai ông đã bị lôi cuốn vào trong nổ lực chung nhằm tìm lời giải đáp cho các câu hỏi của các hội viên quý tộc bài bạc. Ông cũng nghiên cứu các tính chất của đường cycloid và là một trong những người đầu tiên dùng quy nạp toán học một cách có ý thức. Bi kịch của Pascal là vào tuổi 25 ông trở thành một tín đồ gần như cuồng tín dị giáo Jansen và coi toán học như thứ vặt vãnh chỉ để thỉnh thoảng đùa nghịch mà thôi. Phần lớn quảng đời còn lại của ông dành cho việc nghiên cứu triết học và tôn giáo, từ đó ra đời 2 tác phẩm cổ điển “Pensées” (Tư tưỏng) và “Lettres provinciales” (Các lá thư tỉnh lẻ).

Trong những năm đầu của thế kỉ 17 viên gạch nền móng cuối cùng cho toán vi tích phân được tạo hình ở Ý. Bonaventura Cavalieri, một giáo sư toán học dòng Jesuate của đại học Bologna, đề ra “nguyên lí của không chia hết” năm 1629. Nguyên lí này định ra tiêu chuẩn cho việc so sánh diện tích và thể tích một số hình hình học, dựa trên khẳng định rằng một miền phẳng có thể đuợc xem như được hợp thành bởi một tập hợp vô hạn các miền phẳng song song. Công trình của ông được lưu hành trong toàn thể giới khoa học châu Âu, và vào những năm cuối của thế kỉ này, có hai nhà toán học kết hợp nó với hình học giải tích để dựng lên một toà lâu đài toán với nền móng rất lung lay.

Một người là Isaac Newton [Niu-tơn] (1642 – 1722) mà các thành tựu của ông rất nổi tiếng trong vât lí. Khi còn nhỏ, ông không boôc lộ năng lực toán học rõ rệt, và thành tích học tập trong những năm đầu không có gì là xuất sắc cho lắm, tuy nhiên sau một thời gian ngắn nghỉ học ông đã đi học lại với môt niềm say mê mới. Ông là một sinh viên của trường Trinity College ở Cambridge vào tuổi 19, và sau đó 8 năm ông trở thành giáo sư Toán của đại học Cambridge. Trong thập niên 1666 và 1676, Newton phát triển “lí thuyết về chuyển đổi liên tục” (theory of fluxions) qua 3 luận văn. Mặc dù các luận văn này chỉ được công bố nhiều năm về sau nhưng chúng làm cơ sở cho một công trình sau đó của ông, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, một phát triển về vật lí theo lối tiên đề trong đó Newton đề ra lần đầu tiên một phát biểu có hệ thống hoàn chỉnh về mặt toán học các quy luật về chuyển động nổi tiếng của ông. Quyển Principia đã nhanh chóng giữ lấy vai trò một điều tiên quyết cần thiết cho tiến bộ khoa học và kĩ thuật tương lai, và nó đưọc xếp vào hàng rất ít các công trình toán học có ảnh hưởng sâu sắc trong lịch sử văn minh loài người.

Tuy nhiên trong số những người đồng thời và những người kế tục, việc thừa nhận và tôn vinh ông cũng chưa thất thống nhất. Con người thiên tài này đã biết cái mà ông muốn, và chấp nhận để trực giác lấn lướt một ít các cẩn trọng logic, thừa nhận lí thuyết trước nhất vì nó được việc. Nhưng một số đồng nghiệp ông đã hoài nghi một cách chính đáng. Không có lời phê phán nào dí dỏm và sắc bén một cách cay chua như của George Berkeley, một Giám mục ở Clyone. Trong quyển The Analyst, xuất bản năm 1734, ông tranh luận rằng các nhà khoa học chỉ trích lòng tin vào các điều bí ẩn của tôn giáo cũng có cùng các nổi khó khăn trong chính lĩnh vực của mình: “Và chuyển đổi liên tục (fluxion) là cái gì? Các vận tốc của những gia tăng nhất thời (evanescent increments). Và những gia tăng nhất thời như nhau này là cái gì? Chúng không là những số lượng hữu hạn mà cũng chẳng phải là những số lượng nhỏ vô cùng hay chưa là gì cả. Chúng ta có thể gọi chúng là các bóng ma của những số lượng tách đi được chăng? Chắc chắn là… ai mà tiêu hoá một sự chuyển đổi thứ hai hay thứ ba… , theo tôi, không cần phải quá khe khắt về bất kì điểm nào khi bàn về chủ đề Thần thánh.

Đối thủ của Newton là Gottfried Wilhelm von Leibniz [Lai-niz] (1646 – 1716), một thiên tài nhiều mặt người Đức. Tài năng phi thường của ông bao gồm nhiều lĩnh vực luật, ngoại giao, tôn giáo, triết học, khoa học vật lí và toán học, trong đó ông đã độc lập phát triển toán vi tích phân một thời gian ngắn sau khi đối tác người Anh của ông đã làm điều tương tự. Tuy nhiên, sự việc này đã gây ra tranh luận sôi nổi trong nhiều năm, với lời qua tiếng lại cáo buộc nhau“đạo văn” từ hai phía eo biển Anh, lồng trong tinh thần yêu nước theo kiểu phe phái kéo dài trong nhiều thập kỉ. Không được biết đến nhiều nhưng ít ra cũng quan trọng không kém là công trình của ông về giải tích tổ hợp. Trong việc tìm kiếm một “đặc trưng phổ quát” thống nhất mọi tư tưỏng toán học, ông đã trở thành người sáng lập của logic kí hiệu, một ngành học chỉ được nghiên cứu sâu rộng sau đó hai thế kỉ.