6. Thế kỉ 18
Toán vi tích phân giữ vị trí chi phối sự phát triển toán học trong thế kỉ 18. Việc khai phá lí thuyết mạnh mẽ mới này tiến hành theo hai hướng – mở rộng và áp dụng vào các phần khác của toán học và vật lí, và xem xét nền tảng logic của nó. Việc nghiên cứu trong thời kì này chủ yếu được tiến hành ở Royal Academies (các viện Hàn lâm Hoàng gia), bảo trợ bởi “các quyền lực sáng suốt” của thời đại, trong khi các trường đại học chỉ đóng một vai nhỏ trong việc sản sinh các tư tưỏng mới. Những viện hàn lâm hàng đầu ở Berlin, London, Paris và St Peterburg. Pháp chiếm phần vượt trội về tài năng toán học, nhưng Thuy Sĩ cũng có những đóng góp có ý nghĩa trong lĩnh vực này.
Một gia đình họ Bernoulli đã đào thoát nước Bỉ vào năm 1583 để tránh sự trù dập của tôn giáo, và cuối cùng đã định cư ở Thuỵ Sĩ. Con cháu gia đình này làm dấy lên một cuộc tranh lụận mạnh mẽ về việc di truyền khả năng trí tuệ; trong ba thế hệ họ đã tạo ra 8 nhà toán học xuất sắc trong đó có 4 người đạt danh tiếng quốc tế! Mở đầu và được biết nhiều nhất là hai anh em Jacob (1654 – 1705) và Johann (1667- 1748). Từ bỏ sự nghiệp thần học và y học do bị quyến rũ bởi công trình tiên phong của Leibniz về toán vi tích phân, Jacob và Johann Bernoulli đã bước vào một cuộc tranh đua ráo riết giữa hai ông với nhau và với chính Leibniz, điều này đã làm sản sinh ra phần lớn nguồn tài liệu có trong các bài giảng sơ cấp vê tính vi tích phân hiện nay, cũng như các kết quả trong lí thuyết phương trình vi phân thường. Phần lớn các công trình của hai ông tập trung vào các tính chất của một số đa dạng các đường cong đặc biệt, kể cả đuờng dạng dây xích, đường xoắn ốc logarit, và Johann Bernoulli thường đưọc xem như là cha đẻ của ngành toán về các biến đổi do ông nghiên cứu về đường brachistochrone (đường cong mà theo đó một chất điểm sẽ trượt từ một điểm này tới một điểm khác dưới ảnh hưởng của trọng lực trong thời gian nhỏ nhất có thể có, lực ma sát xem như không đáng kể). Ngoài đóng góp của ông cho toán vi tích phân, Jacob cũng đã làm được môt công trình nổi bậc về hình học và đã viết quyển sách đầu tiên dành cho lí thuyết xác suất. Hai người con của Johann cũng được nổi tiếng – Nicholaus (1695 – 1726) nhờ công trình về Hình học, và Daniel (1700 – 1782) nhờ các bài viết sâu sắc trong lĩnh vực thiên văn, vật lí toán và thuỷ động học.
Jacob Bernoulli
Johann BernoulliNhà toán học có nhiều thành quả nhất của thế kỉ này là Leonhard Euler, sinh năm 1707 ở Basel, Thuỵ sĩ. Ông là học trò của Johann Bernoulli, và cũng nghiên cứu về thần học, y học, các ngôn ngữ phương Đông, thiên văn, và vật lí. Năm 1727 ông là thành viên của viện Hàn lâm St Petersburg, rồi lãnh đạo viện Hàn lâm Berlin năm 1747, sau đó 20 năm lại trở về Petersburg và sống ở đó đến khi mất năm 1783. Ông là một nhà toán học hoạt động không mệt mỏi và ngay cả khi mắt ông bị mờ vào lúc 28 tuổi và mù hẳn ở tuổi 59, khả năng làm việc của ông cũng không suy giảm nhiều. Ông đã viết gần 900 quyển sách và luận văn quan trong trong các lĩnh vực giải tích, đại số, số học, cơ học, âm nhạc, và thiên văn. Euler là người đưa ra phần lớn kí hiệu hiện đang dùng trong đại số và giải tích hiện đại, và ông đã có công đưa lượng giác thành dạng như hiện nay; nhưng có lẽ thành tích nổi trội nhất của ông có được từ cố gắng xây dựng toán vi tích phân như là một lí thuyết giải tích không phụ thuộc vào hình học.
Leonhard Euler (1707-1783)Phần sau của thế kỉ 18 là một thời kì xáo trộn về chính trị. Anh đang bị ít nhiều khó khăn trong việc ổn định thuộc địa còn rối ren của mình ở châu Mĩ, còn giai cấp quý tộc Pháp thì mất khả năng điều khiển nông dân. Biến động ở Pháp quyết liệt đến nổi không thể tin nổi là các nghiên cứu khoa học chẳng những vẫn tồn tại mà cón lớn mạnh suốt cả thời gian này. Thật vậy, toán học Pháp vẫn giữ vị trị vượt trội của mình. Các nhà toán học trong lục điạ châu Âu có lợi thế mạnh hơn các nhà toán học Anh ở chỗ toán vi tích phân của Leibniz thì dễ hiểu và dễ áp dụng hơn nhiều so với lí thuyết khó xài về sự chuyển đổi liên tục của Newton, và các thành tựu đạt được cho thấy rằng họ đã đưa nó vào sử dụng tốt.
Một đột phá quan trọng trong toán vi tích phân đã được Jean d’Alembert (1717 – 1783) thực hiện khi ông khử trừ được ”các bóng ma về các đại lượng dời chỗ” của Newton bằng cách đưa ra khái niệm giới hạn. Tuy nhiên các người cùng thời với ông không đánh giá được ý nghĩa của ý tưởng này và để nó ngủ yên trong nhiều năm.
Jean d’Alembert (1717 – 1783)“Đỉnh kim tự tháp cao chót vót của khoa học toán” theo Napoleon Bonaparte là Joseph Louis Lagrange [La-grăng] (1736 – 1813), một nhà toán học lỗi lạc nhưng khiêm tốn được Napoléon và hai vuơng triều nước ngoài tôn vinh, và sự nghiệp của ông đã tiến lên không cùng nhờ sự ủng hộ hết mình của Euler. Lagrange cải tiến và sắp xếp lại phần lớn nội dung toán vi tích phân của Euler và nghiên cứu sâu rộng lí thuyết phương trình, lí thuyết số và cơ học. Ông cũng là người chịu trách nhiệm mở ra chương trình toán cấp tốc ở hai trường mới thành lập của Pháp là École Normale (trường Sư phạm) và École Polytechnique (trường Bách khoa).
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)Pierre Simon Laplace [La-pla-xơ] (1749 – 1827) là nhà toán học ứng dụng xuất sắc của thế kỉ này. Ông sinh ra trong một gia đình nông dân, nhờ tài năng toán học hiếm có của mình ông đã cải thiện bậc thang xã hội của mình và cuối cùng được Napoléon phong chức Bá tước. Công trình nổi tiếng nhất của ông là Théorie analytique des probabilités (Lí thuyết giải tích về xác xuất) và bộ sách vĩ đại gồm 5 quyển Mécanique céleste (Cơ học thiên thể), trong đó ông đã duyệt lại, hợp nhất và mở rộng một cách công phu tất cả các công trình trước đó trong lĩnh vực xác suất và cơ học thiên thể. Mặc dù ông có khuynh hướng đáng phiền khi mượn ý mà không nói rõ, nói chung Laplace vẫn được mọi người thừa nhận là một nhà khoa học sáng tạo nổi bậc. Tầm cở các công trình của ông đi ngược với tính cô đọng của chúng; như lời của một trong những dịch giả “Tôi chưa bao giờ nắm bắt ngay được một trong những cái ‘Vậy đơn giản là’ của Laplace mà không phải trải qua hàng giờ cật lực làm việc để lấp đầy chỗ trống và để tìm và chứng minh làm thế nào mà lại ‘đơn giản là’’.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827)Cũng phải nói thêm ngắn gọn về Adrien-Mair Legendre và Gaspard Monge. Cả hai đều đạt tới đỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào những năm cuối thế kỉ này, nhưng công trình của họ lại khác biệt nhau một cách cơ bản. Mặc dù chủ trì bài viết về tổ chức lại toàn bộ hình học Euclid, phần chính công trình của Legendre lại là giải tích và toán ứng dụng, một lĩnh vực thống trị vào lúc đó. Trái lại, Monge là một nhà hình học mực thước, một trong những chuyên gia đầu tiên về toán học hiện đại. Ông được biết nhiều nhất qua việc phát triển môn Hình học hoạ hình (descriptive geometry), và các ý tưởng hình học thâm nhập khắp các công trình của ông. Điều này ghi dấu ông như là một sứ giả cho thời kì kế tiếp.
chú thích
[5] Định lí cuối cùng của Fermat (Fermat’s last theorem) đã được chứng minh bởi Andrew Wiles vào năm 1995.
