4. Thế kỉ 15 và thế kỉ 16
Thời Phục hưng của nghệ thuật và học thuật bắt đầu một cách nhanh nhẩu trong thế kỉ 15. Khi Constantinople sụp đổ vào năm 1453, nhiều học giả Hi lạp di cư tới các thành phố và đại học mới của phương Tây. Điều này trùng hợp với việc phát minh ra máy in kiểu di động, một phương tiên hiệu quả trong việc phổ biến thông tin. Các nhu cầu ngày càng tăng của việc giao thương, hàng hải, thiên văn và điều tra thúc đẩy việc nghiên cứu toán học và đồng thời cũng giới hạn nó một ít. Chủ đề thống trị của toán học thế kỉ 15 và 16 là việc tính toán và toán học đã tiến những bước dài trong việc đạt tới tính chính xác và sự hiệu quả trong kĩ thuật tính.
Nhà toán học dẫn đầu của thế kỉ 15 là Johannes Müller (1436-1476), còn được biết dưới tên Regiomontanus. Ngoài việc dịch lại nhiều công trình cổ điển Hi Lạp và nghiên cứu các vì sao, ông còn viết quyển De triangulis omnimodis, quyển sách đầu tiên dành riêng cho lượng giác. Quyển sách này khác biệt rất ít so với lượng giác hiện nay trừ cách kí hiệu, và nó đánh dấu sự mở đầu của lương giác như một ngành học độc lập với thiên văn.
Những quyển sách toán được in đầu tiên là sách số học thương mại xuất hiện năm 1478 và bản Latin của quyển Cơ bản của Euclid năm 1482. Tuy nhiên, toán học thu được nguồn lợi tức thật sự lần đầu từ việc in ấn bằng sự xuất hiện của quyển Summa de Arithmetica của Luca Pacioli, một nhà tu dòng Francisco. Quyển sách này được viết bằng tiếng Ý và là một sách hoàn chỉnh của tất cả kiến thức số học, đại số, và lượng giác biết được tới lúc đó, kết thúc với một nhận xét rằng các phương trình bậc ba là không giải được với các công cụ toán học đang có. Như để đáp ứng với thách thức này, các nhà toán học ở Đại học Bologna đã tấn công vào bài toán và đã khử đuợc nó trong phần tư đầu của thế kỉ kế.
Nhà khoa học lỗi lạc nhất của thời kì này là Leonardo da Vinci (1452-1519), một người với sự tài giỏi đa dạng bao gồm các lĩnh vực hoạt động như hội hoạ, điêu khắc, sinh học, kiến trúc, cơ học và quang học. Công trình toán học của ông tập trung vào hình học và ứng dụng của nó vào nghệ thuật và các khoa học vật lí. Việc ứng dụng toán học vào nghệ thuật không chỉ hạn hẹp trong các công trình của Vinci. Nhiều hoạ sĩ nổi tiếng khác của thế kỉ 16 cũng là các nhà hình học xuất sắc, nổi bậc là Albretch Dürer. Ông viết công trình in đầu tiên bàn về các đường cong phẳng bậc cao và khảo sát của ông vể phối cảnh và tỉ lệ đã được phản ánh trong các tác phẩm nghệ thuật của các hoạ sĩ cùng thời.
Leonardo da VinciCha đẻ của toán học Anh là Robert Recorde (k 1510 -1558), một bác sĩ y khoa, nhà giáo duc và một công chức. Ông đã xuất bản 4 quyển sách toán, viết với dạng đối thoại tiếng Anh với sự trong sáng, chính xác và có cơ sở: The Ground of Artes (Cơ sở của số học), một sách số học đã trải qua tới ít nhất 29 lấn tái bản; The Castle of Knowledge (Lâu đài kiến thức), bản trình bày đầu tiên bằng tiếng Anh về lí thuyết Copernic trong thiên văn; The Pathway to Knowledge (Con đưòng dẫn đến Kiến thức), bản rút ngắn của bộ Cơ bản của Euclid; và The Whetstone of Witte, sách đại số, trong đó kí hiệu đẳng thức “=” xuất hiện lần đầu tiên.
Robert RecordeTrong nửa sau của thế kỉ 16, một luật sư người Pháp tên là François Viète [Vi-et] (1540-1603) bắt đầu dành toàn bộ thời gian rãnh rổi cho toán học, và ông đã đưa kĩ thuật đại số tiến những bước đáng kể. Ông là người đầu tiên dùng các hệ số bằng chữ khi giải phương trình, và sự nhất quán trong hệ thống kí hiệu của ông, bao gồm cả dấu + và –, đã đưa ông thành ngưòi đi đầu trong việc phát triển các phương pháp tổng quát cho việc giải phương trình. Bằng cách áp dụng các phương pháp đại số này, Viète [4] đã mở rộng và khái quát việc nghiên cứu lượng giác. Cho mãi tới thế kỉ 18 mới có một nhà đại số khác có năng lực tương đuơng với ông.
François VièteTên tuổi cuối có tầm quan trọng lớn thuộc thế kỉ 16 là Simon Slevin của Hà Lan, có công phát triển lí thuyết về phân số thập phân năm 1585. Hai trăm năm chuẩn bị cho một cuộc bùng nổ về khoa học báo hiệu bình mình của kỉ nguyên lớn thứ ba của toán học đã kết thúc như thế.
chú thích
[2] Số phẳng là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích 2 thừa số nguyên
[3] Số không gian là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích của 3 thừa số nguyên
[4] Trong chương trình toán THP,T chúng ta biết Viète qua định lí về tổng và tích của phương trình bậc hai (S = -b/a và P = c/a)
