Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương pháp :
Xác định một điểm cố định
![]()
![]()
Xác định một vectơ chỉ phương
của
.
Phương trình tham số và phương trình chính tắc của
lần lượt có dạng
:
:
nếu
đều
Ví dụ : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điêm
và
Lời giải:
đi qua hai điểm
và
nên có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của là:
Vậy phương trình chính tắc của là:
Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và
trong không gian.
Phương pháp :
Xác định điểm cố định
và vectơ chỉ phương
của
.Xác định điểm cố định
và vectơ chỉ phương
của
.
Tính
.
Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa
và
.
//
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
cắt
![]()
![]()
và
chéo nhau
![]()
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng là:
với đường thẳng
:
Lời giải:
Ta có đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
đi qua
và có vectơ chỉ phương
Ta có : .
Vậy và
chéo nhau.
Các em có thể lấy ví dụ về các trường hợp còn lại
Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp :
Cho đường thẳng đi qua điểm
và vectơ chỉ phương
, cho mặt phẳng
có phương trình tổng quát
.
Gọi là VTPT của
.
Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
ta có các cách sau:
Cách 1: Xét tích vô hướng
và thay tọa độ của điểm
vào phương trình của
để kiểm tra , ta có các trường hợp sau:
![]()
![]()
song song với
.
![]()
![]()
nằm trong
.
![]()
cắt
.
![]()
![]()
vuông góc với
.
Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng
:
Sau đó thay
ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng
:
ta được:
hay
(1)
Xét số nghiệm
của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.
vô nghiệm
![]()
song song với
.
có mộy nghiệm
![]()
![]()
cắt
tại điểm
có vô số nghiệm
![]()
nằm trong
.
![]()
![]()
![]()
vuông góc với
.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng là:
với mặt phẳng
:
Lời giải:
Chuyển phương trình chính tắc của về phương trình tham số
:
Sau đó thay ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng
:
Phương trình có một nghiệm
, vậy
cắt
tại điểm
Dạng 4: Tìm hình chiếu.
Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm
trên đường thẳng
.
Phương pháp:
- Viết ptmp (P) qua A vuông góc (d)
- thay PTTS (d) vào (P) tìm t=?
- thay t vào PTTS (d) tìm được 3 tọa độ đó là H.
Bài toán 2: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
.Cách 1: Gọi
(*)
cùng phương với
: Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*) ,từ đó tìm được
.
Cách 2:
- Tìm phương trình ts đường thẳng
đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
.
- Giao điểm của
và
chính là hình chiếu
của
trên mặt phẳng
.
Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng
xuống mặt phẳng
.
- Tìm phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng
.
- Hình chiếu
của
xuống mặt phẳng
chính là giao tuyến của
và
.
Thí dụ: Cho hai điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
là nhỏ nhất.
Hướng dẩn giải:
Đặt
.
Ta có
Vậy
về cùng một phía của
Gọi
là điểm đối xứng của
qua
Nối
, Ta có
Khi đó dễ chứng minh
chính là điểm cần tìm( Bài toán cơ bản của phép tính đối xứng qua mặt phẳng )
Gọi
là hình chiếu của
trên
Đường thẳng
có dạng
Gọi
Ta có phương trình sau để xác định t (dựa vào
:
Vậy
. Do
là trung điểm của
, nên có ngay
.
Ta có
cùng phương với vectơ
Vậy
có dạng
Giả sử
, khi đó ta có phương trình sau để xác định t’(dựa vào
:
Vậy
là điểm cần tìm
Chú ý: Nếu
ở hai phía của
, thì nếu gọi
, Thì
chính là điểm cần tìm.
(sưu tầm)
Comments are closed.