Khái niệm về mặt tròn xoay – SGK – Thầy Đồ – Dạy toán

BÀI 1. Khái niệm về mặt tròn xoay

I. Sự tạo thành mặt tròn xoay

Xung quanh chúng ta có nhiều vật thể mà mặt ngoài của nó có hình dạng là những mặt tròn xoay như bình hoa, nón lá, cái bát (chén) ăn cơm, cái cốc (li) uống nước, một số chi tiết máy (h.2.1)… Nhờ có bàn xoay với sự khéo léo của đôi bàn tay, người thợ gốm có thể tạo nên những vật dụng có dạng tròn xoay bằng đất sét. Dựa vào sự quay tròn của trục máy điện, người thợ cơ khí có thể tạo nên những chi tiết máy bằng kim loại có dạng tròn xoay. Vậy các mặt tròn xoay được hình thành như thế nào? Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những tính chất hình học của mặt tròn xoay.

Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và một đường C. Khi quay mặt phẳng (P) quanh một góc 360⁰ thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc và nằm trên mặt phẳng vuông góc với . Như vậy khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng thì đường C sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay (h.2.2).

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng được gọi là trục của mặt tròn xoay.

?1. Hãy nêu tên một số đồ vật mà mặt ngoài có hình dạng là các mặt tròn xoay.

II. Mặt nón tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc với . Khi quay mặt phẳng (P) xunh quanh thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó (h.2.3).

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

a) Cho tam giác OIM vuông tại I (h.2.4). Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O gọi là đỉnh của hình nón. Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón. Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

b) Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Người ta còn gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón. Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón. Ta gọi đỉnh, mặt, đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt, đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp. Ta có định nghĩa sau:

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

Gọi p là chu vi đáy của hình chóp đều nội tiếp hình nón và q là khoảng cách từ đỉnh O tới một cạnh đáy của hình chóp đều đó thì diện tích xung quanh của hình chóp đều là:

Khi cho số cạnh đáy của hình chóp đều tăng lên vô hạn thì p có giới hạn là độ dài đường tròn đáy bán kính r của hình nón, q có giới hạn là độ dài đường sinh l của hình nón. Khi đó ta tính được diện tích xung quanh của hình nón theo công thức:

Vậy: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

Người ta gọi tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.

Chú ý. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh của hình nón đó và một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. Ta có thể xem diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh của hình nón. (h.2.6).

4. Thể tích khói nón tròn xoay

a) Muốn tính thể tích khối nón tròn xoay ta dựa vào định nghĩa sau đây:
Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay.

Ta biết rằng thể tích của khối chóp bằng 1/3 tích của diện tích đa giác đáy và chiều cao của khối chóp đó (chiều cao này cũng là chiều cao của khối nón). Khi cho số cạnh đáy của khối chóp đều tăng lên vô hạn thì diện tích đa giác đáy của khối chóp đều đó có giới hạn là diện tích hình tròn đáy của khối nón tròn xoay. Do đó ta tính được thể tích của khối nón tròn xoay như sau:

Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức:

5. Ví dụ

Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30⁰ và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó.

b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên.

Giải:

a) Hình nón tròn xoay được tạo nên có bán kính đáy là a và độ dài đường sinh OM = 2a.

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:

b) Khối nón tròn xoay có chiều cao và có diện tích hình tròn đáy là .

Vậy khối nón tròn xoay có thể tích là:

?2. Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R. Hỏi hình nón đó có bán kính r của đường tròn đáy và góc ở đỉnh của hình nón bằng bao nhiêu?

III. Mặt trụ tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó (h.2.8).

2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

a) Hãy xét hình chữ nhật ABCD. Khhi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn được gọi tắt là hình trụ (h.2.9).

Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ, phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn được gọi tắt là khối trụ. Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ được gọi là những điểm trong của khối trụ. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay

a) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ. Ta có định nghĩa sau:

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Gọi p là chu vi đáy của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ và h là chiều cao của hình lăng trụ đó thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều là: S_xq = ph (h.2.10).

Khi cho số cạnh đáy của hình lăng trụ đều tăng lên vô hạn thì p có giới hạn là chu vi hình tròn đáy bán kính r của hình trụ, chiều cao h bằng độ dài đường sinh l của hình trụ. Khi đó ta tính được diện tích xung quanh của hình trụ theo công thức:

Vậy: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

Người ta gọi tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai đáy là diện tích toàn phần của hình trụ.

Chú ý. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.

Nếu cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và một cạnh bằng chu vi của đường tròn đáy. Độ dài đường sinh l bằng chiều cao h của hình trụ. Khi đó diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ. (h.2.11)

4. Thể tích khối trụ tròn xoay

a) Muốn tính thể tích khối trụ tròn xoay ta dựa vào định nghĩa sau đây:

Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đề nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay.

Ta biết rằng thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích đa giác đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó. Khi cho số cạnh đáy của khối lăng trụ đều tăng lên vô hạn thì diện tích của đa giác đáy của khối lăng trụ đều có giới hạn là diện tích của hình tròn đáy của khối trụ tròn xoay. Do đó ta tính được thể tích của khối trụ tròn xoay như sau:

Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức:

?3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD.A’B’C’D’.

5. Ví dụ

Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó.

b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.

Giải:

a) Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r = a/2 và đường sinh l = a. Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là:

b) Thể tích của khối trụ tròn xoay được tính theo công thức:

Bài tập

1. Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.

2. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:

a) Ba cạnh của hình chữ nhật khhi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tự.

b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.

c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

3. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

c) Một thiết bị đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

4. Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.

5. Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

6. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

7. Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h =

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa hai đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30⁰. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

8. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;r) và (O’;r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO’ = . Một hình nón có đỉnh là O’ và có đáy là hình tròn (O;r).

a) Gọi S₁ là diện tích xung quanh của hình trụ và S₂ là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số S₁/S₂.

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.

9. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng .

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60⁰. Tính diện tích tam giác SBC.

10. Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.