BÀI 1. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTO
1. Hệ toạ độ
Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi 
lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ toạ độ Oxyz (h.3.1).
Hình 3.1
Điểm O được gọi là gốc toạ độ.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Vì là ba vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:
1 Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vecto 
theo ba vecto không đồng phẳng đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz.
2. Toạ độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tuỳ ý. Vì ba vecto không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x ; y ; z) duy nhất sao cho:
Hình 3.2
Ngược lại, với bộ ba số (x ; y ; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thoả mãn hệ thức .
Ta gọi bộ ba số (x ; y ; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho và viết :
3. Toạ độ của vecto
Trong không gian Oxyz cho vecto 
, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số sao cho 
.
Ta gọi bộ ba số đó là toạ độ của vecto đối với hệ toạ độ Oxyz cho trước và viết : 
hoặc 
.
Nhận xét. Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M chính là toạ độ của vecto .
Ta có: M = (x ; y ; z) 
.
2 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có 
theo thứ tự cùng phương với và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính toạ độ các vecto 
với M là trung điểm của cạnh C’D’.
II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO
Định lí
Chứng minh
Chứng minh tương tự cho trường hợp b) và c).
Hệ quả
III – TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Định lí
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto 
được xác định bởi công thức
Chứng minh
2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vecto. Cho vecto 
.
b) Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA,yA,zA)và B(xB,yB,zB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto 
. Do đó ta có:
IV – PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Định lí
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; c) bán kính r có phương trình là:
Chứng minh
Gọi M(x ; y ; z) là một điểm thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r (h.3.3)
Khi đó :
Do đó (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 là phương trình của mặt cầu (S).
Hình 3.3
4 Viết phương trình mặt cầu tâm I(1 ; – 2 ; 3) có bán kính r = 5.
Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(-A; -B; -C) có bán kính 
.
Ví dụ. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0
Giải
Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau :
(x + 2)2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 = 32
Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = (-2; 1 ; -3), bán kính r = 3.
BÀI TẬP
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
2. Cho ba điểm A = (1 ; – 1 ; 1), B = (0 ; 1; 2), C = (1 ; 0 ; 1)
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A = (1 ; 0 ; 1), B = (2; 1; 2), D = (1 ; – 1 ; 1), C’ = (4 ; 5 ; -5). Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
4. Tính
5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây :
a) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0
b) 3x2 + 3y2 + 3z2 – 16x + 8y + 15z – 3 = 0
6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A = (4 ; – 3 ; 7), B = (2 ; 1; 3)
b) Đi qua điểm A = (5 ; – 2 ; 1) và có tâm C = (3 ; – 3 ; 1)