Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm 2012
Bài 1:
Giải hệ phương trình sau: $$\begin{cases} x^3-y^3=9\\ 2x^2+y^2-4x+y=0\end{cases}$$
Bài 2:
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1; x_{n+1}=\dfrac{x_n^4+9}{x_n^3-x_n+6}$
a) Chứng minh rằng $\lim x_n=+\infty$
b) Với mỗi số nguyên dương $n$ đặt $y_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k^3+3}$
Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ tâm $G$. Một đường $d$ thay đổi luôn đi qua $G$ và cắt các đường thẳng $BC, CA, AB$ lần lượt tại $M, N, P$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=GM.GN.GP$.
Câu 4:
Tìm tất cả các cặp hàm số $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa các điều kiện sau:
i) $f(0)=g(0)=1; g(1)=2$
ii) $f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y)$
Bài 5:
Một số nguyên dương $n>1$ được gọi là hoàn toàn không chính phương nếu $n$ không có ước chính phương khác 1. Chứng minh rằng nếu $n$ là hợp số và $n-1$ chia hết cho $\varphi (n)$ thì $n$ hoàn toàn không chính phương và $n$ có ít nhất là 3 ước nguyên tố (trong đó $\varphi (n)$ là các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$).
Bài 6:
Trên mỗi ô của một bảng $4×4$ ô vuông, người ta điền một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hảng và tring mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền như trên?
—————-
Đáp án:
DAP-AN-OLYMPIC-304-2012-11.pdf