Năm học 2011-2012
______________________________________
Môn thi:Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
______________________________________
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: $A = \left( {\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}} + \frac{{1 – 2\sqrt x }}{{x – 1}}} \right).\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)$ với $x>0;x\ne 1$. Rút gọn biểu thức $A$ và tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.
b) Cho biểu thức:
\[M = \left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} – \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt x – \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( { – \sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\]
Với $x$ là số tự nhiên khác $0$. Chứng minh $M$ cũng là số tự nhiên.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Tìm $x$ biết: $\sqrt{x+24}+\sqrt{x-16}=10$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + xy + y = 9\\y + yz + z = 4\\z + zx + x = 1\end{array} \right.$
Bài 3. (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1);B(0;4);C(6;4)$ và $D(4;1)$. Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng $AD,BC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho đường thẳng $d$ chia tứ giác $ABCD$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng $y=mx-\frac{5m}{3}$ (với $m\ne 0$).
a) Tìm tọa độ của $M$ và $N$.
b)Tìm toạn độ điểm $Q$ trên $d$ sao cho khoảng cách từ $Q$ đến trục $Ox$ bằng 2 lần khoảng cách từ $Q$ đến $Oy$.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $O$, gọi $H$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy hai điểm $D,E$ sao cho $\widehat{DHE}=60^o$. Lấy $M$ bất kì trên cung nhỏ $AB$.
a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc $\widehat{BAC},\widehat{BDE},\widehat{DEC}$ đồng quy.
b) Cho $AB$ có độ dài $1$ đơn vị. Chứng minh: $MA+MB < \frac{4}{3}$
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ không cân, vẽ phân giác trong $Ax$ của góc $A$. Vẽ đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Gọi $E$ là giao của $Ax$ và $d$. Chứng minh $E$ nằm ngoài tam giác $ABC$.
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa điều kiện $xyz=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{1 + {x^3} + {y^3}}} + \frac{1}{{1 + {y^3} + {z^3}}} + \frac{1}{{1 + {z^3} + {x^3}}} \le 1\]
*Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài thi.
———————-HẾT———————-