SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
NĂM 2010-2011
MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
NĂM 2010-2011
MÔN TOÁN
Vòng 1
Câu 1: Giải hệ :
Câu 1: Giải hệ :
Câu 2: Cho dãy số với
Tìm điều kiện cần và đủ của a để dãy số trên hữu hạn.
Câu 3: Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi H là giao điểm của BF và CE.
Chứng minh rằng AH vuông góc BC
Câu 4: Cho tam giác ABC có diện tích S, BC=a, CA=b, AB=c. Chứng minh rằng
Câu 5: Cho số nguyên dương và tập M={
} Với mỗi tập A khác rỗng của M ta kí hiệu |A| là số phần tử của tập
và
tương ứng là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của tập A. Tính
theo
.
Gợi ý giải theo math.vn
Câu 1: Nhân PT thứ nhất với
và PT thứ hai với 200 rồi cộng lại ta được PT 
đến đây dễ rồi.
đến đây dễ rồi.
Câu 2;
Cứ giả sử dãy đã cho có giới hạn hữu hạn là
, thế thì
hoặc 
Như vậy:
+ Nếu
hoặc
, dãy đã cho là dãy hằng (Thõa mãn)
+ Nếu
, thế thì
, từ đó quy nạp ta cũng đạt được
.Điều này chứng tỏ
, tức là dãy
có giới hạn
(Loại)
+ Nếu
, thế thì
, từ đó quy nạp ta cũng đạt được
.Vậy dãy
giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn là
(Thõa mãn)
+ Nếu
, thế thì
, quay về trường hợp 3 (Thõa mãn)
+Nếu
, thế thì
, quay về trường hợp 2 (Loại)
Tóm lại,
.
Như vậy:
+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu
+Nếu
Tóm lại,
CÂU 3:
Gọi
là trực tâm tam giác
,
là 2 đường cao của tam giác.
lần lượt là giao điểm của
với 
Ta có
Tương tự, ta có
Suy ra
, hay
đồng quy
Áp dụng định lý Desargues cho 2 tam giác
và
, ta suy ra
thẳng hàng, suy ra (đpcm).
Ta có
Tương tự, ta có
Suy ra
Áp dụng định lý Desargues cho 2 tam giác
CÂU 4:
Sử dụng bất đẳng thức

với
với
đổi biến ra:
Bài này khá quen thuộc!
CÂU 5:
Với mỗi số
khi đó một tập con nhận k là nhỏ nhất chẳng qua là 1 tập con của
ghép thêm
. Còn một tập con nhận
là lớn nhất chẳng qua là 1 tập con của
ghép thêm
. Ta để ý thêm rằng số các tập con của 1 tập gồm m phần tử là
.
Vì thế
Thêm nữa
Từ đó các bạn tự suy ra kết quả .
Comments are closed.