Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 Nghệ An 2010, gợi ý giải

Vòng 1
Câu 1: Giải hệ :

Câu 2: Cho dãy số với Tìm điều kiện cần và đủ của a để dãy số trên hữu hạn.

Câu 3: Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi H là giao điểm của BF và CE.
Chứng minh rằng AH vuông góc BC

Câu 4: Cho tam giác ABC có diện tích S, BC=a, CA=b, AB=c. Chứng minh rằng

Câu 5: Cho số nguyên dương và tập M={} Với mỗi tập A khác rỗng của M ta kí hiệu |A| là số phần tử của tập và tương ứng là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của tập A. Tính theo .

Câu 1: Nhân PT thứ nhất với và PT thứ hai với 200 rồi cộng lại ta được PT
đến đây dễ rồi.

Câu 2;

Cứ giả sử dãy đã cho có giới hạn hữu hạn là , thế thì hoặc
Như vậy:
+ Nếu hoặc , dãy đã cho là dãy hằng (Thõa mãn)
+ Nếu , thế thì , từ đó quy nạp ta cũng đạt được .Điều này chứng tỏ , tức là dãy có giới hạn (Loại)
+ Nếu , thế thì , từ đó quy nạp ta cũng đạt được .Vậy dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn là (Thõa mãn)
+ Nếu , thế thì , quay về trường hợp 3 (Thõa mãn)
+Nếu , thế thì , quay về trường hợp 2 (Loại)
Tóm lại, .

CÂU 3:

Gọi là trực tâm tam giác , là 2 đường cao của tam giác. lần lượt là giao điểm của với
Ta có
Tương tự, ta có
Suy ra , hay đồng quy
Áp dụng định lý Desargues cho 2 tam giác và , ta suy ra thẳng hàng, suy ra (đpcm).

CÂU 4:

Sử dụng bất đẳng thức

với

đổi biến ra:

Bài này khá quen thuộc!

CÂU 5:

Với mỗi số khi đó một tập con nhận k là nhỏ nhất chẳng qua là 1 tập con của ghép thêm . Còn một tập con nhận là lớn nhất chẳng qua là 1 tập con của ghép thêm . Ta để ý thêm rằng số các tập con của 1 tập gồm m phần tử là .

Vì thế

Thêm nữa

Từ đó các bạn tự suy ra kết quả .