Câu 1: Giải phương trình trên tập số thực: .
Câu 2: Cho . Chứng minh rằng:
.
Câu 3: Giải phương trình: .
Câu 4: Cho là 2 số nguyên dương chẵn,
là 2 số nguyên dương lẻ sao cho
.
Chứng minh là hợp số.
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật có đáy
là hình vuông.
di động trên đoạn
.
Lấy thuộc cạnh
sao cho
.
Chứng minh: luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định khi
thay đổi.
Gợi ý giải của math.vn
Câu 1:
Có :
Vậy nên nghiệm của phương trình trên là : .
CÂU 2:
Theo Cauchy Schwarz có :
.
Bây giờ cần chứng minh : .
Bất đẳng thức này tương đương :
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đề bài được chứng minh.
CÂU 3:
Dễ có
Biến đổi phương trình về dạng tức là
.
Xét hàm số . Lấy đạo hàm g(x) ta có g(x) đồng biến trên (-00; +00). Do đó phương trình trở thành:
<=>
…………
Vậy nghiệm của phương trình là: .
CÂU 4:
Lời giải: Nếu là số nguyên tố.
Trong thì sự kiện
dẫn đến
là số nguyên tố.
Từ đó chỉ xảy ra khi
hoặc
.
Bây giờ áp đặt điều này với và
là có điều mâu thuẫn.
Bài này chính là một phần chứng minh của Định lý
Mọi số nguyên tố p=4k+1 đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của hai số chính phương.
Lời giải. Giả sử có số nguyên tố .
Khi đó hay
hoặc
.
Mặt khác nên
hoặc
(mâu thuẫn do p là số lẻ).
Do đó suy ra
.
Lại có nên
, trái với giả thiết.
CÂU 5: