Trường THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
ĐỀ KIỂM TRA VÒNG LOẠI LỚP 10 CHUYÊN TOÁN LẦN I
TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ
Năm học: 2011-2012
Ngày 18/02/2012
Thời gian làm bài: 120p
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}(x+y-1)\sqrt{x+y-1}+6x+2y=20 \\(3x+y-2)\sqrt{3x+y-2}+2x+2y=18 \end{array}\right.$
Câu 2 (4 điểm)
Tìm tập hợp các số thực $a$ sao cho:
$\forall x,y,z\in \mathbb{R}, x,y,z>0:
(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-a(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\geq
3$
Câu 3 (4 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $M,N,P,Q$
lần lượt là điểm chính giữa các cung $AB,BC,CD,DA$ ( Mỗi cung này không
chứa các đỉnh còn lại của tứ giác $ABCD$) Gia sử rằng $AC.BD=MP.NQ$.
Chứng minh $AC,BD,MP,NQ$ đồng quy.
Câu 4 ( 4 điểm)
Cho $n+1$ số nguyên dương $a_0,a_1,….,a_n$ sao cho
$a_0<a_1<a_2<…<a_n$. Kí hiệu $[a,b]$ là bội chung nhỏ nhất
của $a$ và $b$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:
$\frac{1}{[a_0,a_1]}+\frac{1}{[a_1,a_2]}+…+\frac{1}{[a_n-1,a_n]}\leq 1-\frac{1}{2^n}$
Câu 5(4 điểm)
Cho $M$ là tập hợp bất kì gồm 10 số nguyên dương không vượt quá 100. $A$
là tập con khác rỗng của M, kí hiệu $s(A)$ là tổng các phần tử thuộc
$A$.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con $X,Y$ khác rỗng của M và $X\cap Y= \phi$ sao cho $s(X)=x(Y)$
——————-HẾT————————