ScienceDaily (Oct. 10, 2008) — Trong một seminar được tổ chức bởi Trường Đại học Stanford và Viện Toán học Hoa Kỳ, Soundararajan công bố rằng ông ấy và Roman Holowinsky đã chứng minh được một phiên bản đầy ý nghĩa của giả thuyết lượng tử duy nhất có tính góc egodic (QUE).
“Đây là một trong những định lý tốt nhất trong năm nay,” Peter Sarnak nói, một nhà toán học đến từ Princeton – người đã cùng với Zeev Rudnick đến từ Trường Đại học của Tel Aviv đã trình bày giả thuyết này vào 15 năm trước trong một cố gắng để hiểu những mối liên hệ giữa sự cổ điển và lượng tử vật lý.
“Tôi nhận thấy rằng Soundararajan và Holowinsky đã nghiên cứu QUE với việc sử dụng các kĩ thuật khác và đã hết sức kinh ngạc khi chứng minh được rằng phương pháp của họ đã tổng hợp một cách phi thường và hoàn hảo cách giải quyết vấn đề này” Sarnak nói. Cả hai phép gần đúng đều đến từ lý thuyết số, một phần của toán học thuần tuý hiện nay đã tìm ra rất nhiều mối quan hệ đáng ngạc nhiên với vật lý.
Động cơ đằng sau vấn đề này là phải hiểu được sóng bị ảnh hưởng như thế nào bởi loại hình học trong các tài liệu gửi kèm của họ. Tưởng tượng các sóng âm thanh trong một đại sảnh hoà hợp. Trong một đại sảnh được thiết kế tốt, bạn có thể nghe được mọi thứ từ mọi chỗ ngồi. Sóng âm thanh trải ra một cách đều đặn và bằng nhau. Ở đầu đối diện là “phòng trưng bày những tiếng ồn” nơi mà âm thanh được tập trung trong một vùng nhỏ.
Toán học thế giới được phổ biến bởi mọi dạng hình thù, một vài trong chúng rất dễ dàng trở tành những bức tranh, như những hình cầu và hình vành khăn, và một số khác thì được xây dưng từ toán học trừu tượng. Tất cả các hình dạng này có những sóng liên kết với chúng. Soundararajan và Holowinsky chứng minh được với những hình chắc chắn đến từ lý thuyết số, sóng luôn luôn trải ra một cách đều đặn. Với những hình này thì không giờ có “phòng trưng bày những tiếng ồn”.
Lượng tử hỗn mang
Giả thuyết về lượng tử duy nhất có tính góc egodic (QUE) đến từ một phần của vâth lý được biết tới như “lượng tử hỗn mang”. Mục đích của lượng tử hỗn mang là phải hiểu được mối quan hệ giữa sự cổ điển và vật lý–những nguyên tắc được điều chỉnh bởi sự chuyển động của những lượng tử vĩ mô như con người người và các hành tinh khi mà sự chuyển động của chúng là hỗn loạn, với lượng tử vật lý–những nguyên tắc được đieuè chỉnh trong thế giới vi mô.
“Công việc của Holowinsky và Soundararajan là vô cùng tài giỏi,” Nhà vật lý Jens Marklof của Trường Đại học Bristol nói, “và nói cho chúng tôi biết dáng điệu của hạt đá trap trên mặt phẳng modun trong những trường từ mạnh.”
Những vấn đề của lượng tử hỗn mang có thể được hiểu trong luật của môn bi-a. Trêng một bàn bi-a bình thường, sự di chuyển của các quả bóng có thể được dự đoán trước và dễ dàng để miêu tả. Sẽ thú vụ hơn nếu cái bàn này có những cạnh cong, được hiểu như một “sân vận động”.” Khi nó đi ra ngoài quỹ đạo thường thấy thì sẽ trở nên hỗn loạn và vượt quá thời gian làm đầy bàn bi-a”, một kết quả được chứng minh bở nhà Toán học – Vật lý học Leonid Bunimovich.
Trong giả thuyết QUE của họ, Rudnick và Sarnak đưa ra một giả thuyết cho những lớp lớn hơn của các hệt thống, không giống như sân vận động không có những trạng thái tì vết và to lớn của bóng và trong thực tế tất cả các tình trạng đều được phân bố đều đặn theo một kiểu nào đó. Công việc của Holowinsky và Soundararajan chứng minh rằng giả thuyết đó đúng trong sự sắp đặt của lý thuyết.
Trạng thái kích thích cao
Giả thuyết của Rudnick và Sarnak được chia làm nhiều vần chắc chắn của các hình được gọi là đa tạp, hoặc với các kĩ thuật đã được sử dụng, các đa tạp của độ cong âm, một vài trong số chúng nảy sinh từ các vấn đề trong số học cao cấp. Các sóng tương ứng là tưng tự với các trạng thái kích thích cao trong lượng tử cơ học.
Soundararajan và Holowinsky mỗi người trình bày một kỹ thuật mới để chứng minh một trường hợp đặc thù của QUE. “Sóng” trong cách sặp đặt này được biết đến như các dạng độc đáo của giải tích Hecke. Các phép gần đúng của cả hai nhà nghiên cứu được tiến hành riêng biệt trong hầu hết thời gian và thật kỳ diệu khi mà hai kết quả của họ đã giải quyết hoàn hảo vấn đề. “Công việc của chúng tôi là một sự pha trộn hài hoà của những ý tưởng vật lý và toán học trừu tượng,” Brian Conrey nói, Giám đốc của Viện Toán học Hoa Kỳ.
Theo Lev Kaplan, một nhà vật lý tại Trường Đại học Tulane, “Đây là một ví dụ tốt cho công việc toán học đầy cảm hứng bởi những vấn đề vật lý thú vị, và nó có một sự xác đáng về những hiểu biết của về dáng điệu lượng tử trong những hệ thống dynamic hỗn loạn cổ điển.”
Bài viết dựa vào nguồn cung cấp từ Viện Toán học Hoa Kỳ.