8. Thế kỉ 20
Năm 1900, các thành viên của Hội toán học quốc tế họp ở Paris nghe các đồng nghiệp nổi trội nhất báo cáo về toán học trong thế kỉ mới. David Hilbert (1862 -1943) vừa mới hoàn thành công trình nổi tiếng Grundlagen der Geometrie (Nền tảng của Hình học), một cách tân toàn bộ công trình Cơ bản của Euclid bằng cách sử dụng phương pháp tiên đề. Hilbert đề ra 23 bài toán chưa giải được như một thách thức cho thế kỉ mới. Nhận định của ông chính xác đến mức mỗi bài toán trong số đó đều dẫn tới những kết quả mới, và thậm chí lời giải cho chỉ một phần của một trong những bài toán Hilbert cũng đem lại sự công nhận quốc tế cho tác giả của nó. Hầu hết các bài toán này hiện nay đã được giải quyết; một số ít vẫn còn là những câu hỏi mở trong toán học đương thời [6].
David Hilbert (1862 -1943)Tuy nhiên, ngay cả Hilbert cũng không thể thấy trước được toán học sẽ nở rộ ra sao trong thế kỉ 20. Tốc độ phát triển lạ thường bắt đầu từ những năm 1800 đã tiếp tục với lượng kiến thức toán học cứ mỗi 15 hay 20 năm lại tăng lên gấp đôi . Vì thế, toán học cơ bản sản sinh từ sau chiến tranh thế giới thứ hai nhiều hơn tất cả thời lịch sử trước đó! Có khoảng 300 tạp chí định kì xuất bản ở nhiều địa điểm khác nhau trên thế giới dành một phần chủ yếu sự quan tâm vào việc công bố các bài viết về toán. Chỉ riêng tạp chí trừu tượng Mathematical Reviews mỗi năm công bố khoảng 8000 bản tóm tắt các bài báo vừa được công bố có chứa các kết quả nghiên cứu mới. Do đó, gọi thế kỉ này là “thời hoàng kim của toán học” là điều có thể hiểu được. Tuy nhiên chỉ số lượng không thôi chưa phải là chìa khoá cho vị trí độc đáo mà toán học thế kỉ 20 giành được trong lịch sử toán học. Điều cốt yếu cần hiểu là bên duới sự tăng trưởng đáng kinh ngạc về kiến thức này là một xu hướng căn bản tiến tới sự thống nhất, một sự thống nhất sâu rộng và hiệu quả nhiều hơn cả Descartes và Leibniz đã tưởng.
Nến tảng cho sự thống nhất này là tính trừu tượng. Mặc dù các thứ hình học phi-Euclid của thế kỉ 19 đã mở đường cho cách xử lí tiên đề trừu tượng toán học nói chung, nhiều mối quan hệ giữa các ngành chính trong toán học vẫn còn chưa xuất hiện cho tới năm 1940. Sự thừa nhận mới đây về các lí thuyết thống nhất này và về những lĩnh vực rộng lớn chưa khám phá mà các lí thuyết đó mở ra đã đưa một số nhà toán học nổi bậc xem điểm kết thúc của chiến tranh thế giới lần 2 như điểm bắt đầu của một kỉ nguyên mới trong toán học.
Khi đến gần thời điểm hiện tại, việc đánh giá chính xác ý nghĩa tương đối của các kết quả toán học mới hầu như không thể thực hiện được, vì thế việc so sánh các đóng góp của từng cá nhân riêng lẻ với nhau sẽ không được thực hiện ở đây, nhiệm vụ đó để dành cho các thế hệ kế tiếp. Do đó, mặc dù tất cả các nhà toán học sẽ được nêu ra đều rất nổi trội qua sự tôn vinh của cộng đồng khoa học hiện đại nhưng không hề có ý đó là một liệt kê đầy đủ và phạm vi chủ đề định trình bày cũng không phải là một khào sát tổng hợp toán học của thế kỉ 20. Mục đích chính của phần này chỉ nêu ra một cách vắn tắt phạm vi và uy thế của các hoạt động toán học đuơng thời.
Nhờ công trình của Boole và việc thừa nhận phương pháp tiên đề hình thức theo sau sự ra đời của các thứ hình học phi-Euclid, sự quan tâm đến nền tảng logic của toán học bắt đầu lan ra nhanh chóng. Công trình đáng chú ý nhất kế tục các cố gắng mở đầu của Boole trong logic toán là quyển Principia Mathematica, một công trình đồ sộ gồm 2 quyển xuất hiện vào các năm 1910 – 1913 trong đó hai nhà triết học – toán học Bertrand Russell (1872 – 1970) và Alfred North Whitehead (1861 – 1947) đã cố hoàn thành giấc mơ của Leibniz bằng cách biểu thị toàn bộ toán học bằng một hệ thống kí hiệu logic phổ quát (universal logical symbolism). Hilbert cũng mơ ước hợp nhất toán học, ông đã miệt mài trong nhiều năm để tìm một tập hợp đơn lẻ nhất quán chứng minh được các tiên đề mà toàn bộ toán học có thể dùng làm cơ sở. Đến đây toán học bước vào giai đoạn 4 của sự phát triển.
Bertrand Russell (1872 – 1970)
Alfred North Whitehead (1861 – 1947)Bắt đầu chỉ với một mãnh da thú, toán học bước đầu ăn diện với một vài bộ quần áo sang trọng và sau đó có nguyên cả một tủ quần áo may dệt công phu. Bây giờ, ăn mặc thanh lịch, toán học bắt đầu nhìn vào túi của mình tìm những lỗ thủng chưa thấy. Các lỗ thủng bắt đầu lộ ra khi Bertrand Russell tìm thấy những điểm không nhất quán trong lí thuyết tập hợp của Cantor, một lí thuyết mà toàn bộ toán học phải đặt cơ sở trên đó. Đìều này đã khiến mục tiêu của Hilbert càng đáng mong mỏi hơn, do đó cộng đồng toán học đã bị chấn động sâu sắc khi Kurt Gödel (1906 – 1978) chứng minh rằng mục tiêu này không thể đạt được. Gödel cũng đã đặt nền móng cho một trong những khám phá ngoạn mục nhất thế kỉ 20. Năm 1964, dựa trên kết quả của Gödel, Paul J. Cohen đã chứng minh rằng cả giả thiết liên tục (continuum hypothesis) lẫn tiên đề lựa chọn (axiom of choices) đều độc lập với các tiên đề đang được thừa nhận của lí thuyết tập hợp. Vì thế Cohen đã trở thành một Saccheri của lí thuyết tập hợp qua việc chứng tỏ rằng hai mệnh đề đó (giả thiết liên tục, tiên đề lựa chọn) không thể chứng minh được từ những tiên đề khác và việc hàm chứa các phủ định của chúng trong lí thuyết tập hợp có thể dẫn tới những lí thuyết trọn vẹn hoàn toàn mới mẻ.
Kurt Gödel (1906 – 1978)
Paul J. Cohen (1934 – 2007)Khi lấy lại được bình tĩnh từ sự kinh ngạc ban đầu, các nhà toán học đã chấp nhận sự kiện là không thể chứng minh được tính nhất quán của toán học từ nội bộ toán học và lại tiếp tục khai phá các chuyên ngành riêng của mình. Thật ra, sự phát triển của hầu hết các phần riêng lẻ của toán học thật sự không bị ảnh hưởng bởi những chấn động bất chợt làm lung lay nền móng của nó. Đại số đã trở nên khái quát hơn rất xa so với trước đây, và các xu hướng tương tự tiến đến tính trừu tượng trong hình học đã dẫn đến những bước tiến vượt bậc trong lĩnh vực hình học đại số (algebraic geometry) được Cayley sáng lập trong thế kỉ trước. Một lĩnh vực ghép khác hết sức phát triển là hình học vi phân (differential geometry), một sự tổng hợp của hình học và nhiều mảng của giải tích nhờ có sự trổi dậy mối quan tâm tạo ra bởi các cố gắng hợp nhất lí thuyết trọng trường với vài hiện tượng điện từ. Bản thân giải tích cũng đang trải qua một sự biến thái lạ thường trong thế kỉ này. Khi Henri Lebesgue (1875 – 1941) làm cách mạng trong lí thuyết tích phân, ông đã mở ra một cách xử lí thống nhất và trừu tượng hơn cho giải tích, điển hình qua các lí thuyết giải tích tổng quát về các không gian trừu tượng được E. H. Moore phát triển năm 1906 và Maurice Eréchet năm 1928. Việc khái quát hoá mới này đã nối kết giải tích với cả đại số và tôpô.
Henri Lebesgue (1875 – 1941)Ít nhất theo một chuyên gia bình luận về toán học đương thời, “sự kiện chính về thời đại chúng ta sẽ được các nhà toán sử học tương lai tô đậm là sự biến động lạ thường xảy ra trong và xung quanh cái mà trước đây được gọi là tôpô đại số (algebraic topology).” Tôpô đại số bắt đầu như một ngành nghiên cứu chính với công trình của Henri Poincaré vào cuối thế kỉ trước, và trong nửa đầu của thế kỉ 20 nó trở thành cái nôi phát triển của một số trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong mọi ngành toán học. Có lẽ thành tựu nổi bật của ngành tôpô trong thế kỉ 20 xảy ra vào năm 1962 khi nhà toán học Mĩ John Milnor (1931 – ) chứng minh bác bỏ phỏng định liên hệ tôpô đại số với ngành đàn anh của nó là tôpô tổ hợp (combinarorial topology). Chứng minh của Milnor cho rằng các không gian tương đương tổ hợp không nhất thiết phải tương đương đại số đã giúp ông giành được huy chương Fields, một giải thưởng toán học quốc tế tương tự như giải Nobel. Ngoài việc mở rộng biên giới của kiến thức toán học, các phương pháp của đại số tôpô còn trở thành cơ sở cho một lĩnh vực mới hơn là đại số đồng điều (homological algebra), ngành học này tạo nên những kết nối vững chắc cho sự thống nhất của các lí thuyết trước đây còn tách rời như đại số, giải tích và hình học. Mặc dù cho mãi đến năm 1955 Henri Cartan và Samuel Eilenberg mới xuất bản quyển sách đầu tiên về lí thuyết tổng quát của đại số đồng điều, lí thuyết này đã bước vào quá trình thâm nhập vào phần lớn các ngành của toán học.
John Milnor (1931 – )
Henri Paul Cartan (1900-1980)
Samuel Eilenberg (1913—1998)Cùng với xu hướng thống nhất trong nghiên cứu, thường đi kèm một mong muốn đúc kết và đơn giản hoá các kết quả đã có. Một trong những biểu hiện nổi bật của mong muốn này trong lịch sử toán học là sự xuất hiện của bộ Cơ bản của Euclid. Trong thế kỉ này cũng có một cố gắng khác để tích hợp tất cả các ngành toán học đương thời vào một khuôn khổ duy nhất. Nó bắt đầu vào giữa những năm 1930 do một nhóm nhỏ các nhà toán học trẻ Pháp hơp thành một hội kín và viết chung duới một bút danh giả là Nicolas Bourbaki. Quyển sách đầu tiên trong loạt sách toàn thư của họ là Éléments de Mathématique [7] (Những điều cơ bản của toán học) xuất hiện năm 1939, và đã có hơn 40 quyển trong loạt sách này. Quyển sách cuối cùng của nhóm xuất bản vào năm 1983 là Spectral Theory (Lí thuyết phổ) [8]. Khi tiếng tăm của loạt sách Bourbaki lan rộng, Hội các cộng tác viên của Bourbaki (L’Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki) thêu dệt một huyền thoại đầy đủ về tiểu sử của “con ngưòi” đã viết công trình này. Bằng cách đó họ cố xoay xở để giữ gìn bí mật về các thành viên của nhóm Bourbaki, dù vậy một vài tên tuổi cũng bị lộ ra trong đó có Jean Dieudonné và André Weil (được một số người đánh giá là nhà toán học vĩ đại nhất còn đang sống lúc đó). Nhóm Bourbaki hiểu rõ về tầm vóc lớn lao trong nhiệm vụ của mình cũng như sự kiện là toán học sáng tạo trước nhất là một môn thể thao cho những người trẻ tuổi, vì thế họ đồng ý với nhau sẽ rời khỏi nhóm truớc tuổi 50 và đề cử đồng nghiệp trẻ hơn thay thế mình. Nicolas Bourbaki như thế đã trở nên một học giả quốc tế nổi tiếng nhưng đầy bí mật, luôn luôn ở đỉnh cao của sự sáng tạo nghề nghiệp, liên tục cung cấp cho thế giới khoa học hàng loạt các trình bày hiện đại, rõ ràng, chính xác về mọi lĩnh vực của toán học đương thời. Phong cách trình bày của họ hiệu quả đến mức rất nhiều kí hiệu và thuật ngữ của họ vẫn còn dùng cho đến giờ, như kí hiệu tập rỗng Ø, kí hiệu các tập số N, Z, Q, R, C, kí hiệu dẫn đến ═>…, các từ đơn ánh (injective) , toán ánh (surjective), song ánh (bijective)…
Jean Dieudonne (1906 – 1992)
André WEIL (1906-1998)
Bourbaki congress 1951Việc sử dụng các kĩ thuật toán học trong khoa học vật lí và xã hội đã lan rộng và xuyên suốt đến mức sẽ là vô ích nếu cố tổng kết những tiến bộ hiện đại trong lĩnh vực toán ứng dụng. Tuy nhiên, có rất nhiều người mà công trình của họ phải được nêu ra ở đây do tầm ảnh hưỏng sâu rộng của chúng đến thế giới chúng ta đang sống. Albert Einstein (1879 – 1955) ở tuổi 26 đã làm môt cuộc cách mạng trong khoa học vật lí với thuyết tương đối, một phân tích khác biệt căn bản về sự thay đổi dựa một phần trên hình học Riemann. Công trình của Einstein khiến ông trở nên một nhà khoa học nổi tiếng nhất của thời đại. John von Neumann (1903 – 1957) là một người Mĩ gốc Hungary chủ trì việc phát triển một số trong những máy tính điện tử đầu tiên ở Viện nghiên cứu cao cấp Princeton, giúp cho việc phát triển lí thuyết quantum (lượng tử), và được xem như là người sáng lập lí thuyết trò chơi. Lí thuyết đáng lưu ý của ông về vành các toán tử [9] đã đem ra ánh sáng mối liên hệ thú vị và bất ngờ giữa giải tích, đại số và hình học. Von Neumann cũng có những đóng góp quan trọng trong việc chế tạo bom nguyên tử và bom hydrogen (kinh khí) và xây dựng các dự báo thời tiết dài hạn. Cuối cùng phải kể đến cha đẻ của tự động hoá là Norbert Wiener (1894 – 1964), người mà công trình về xử lí thông tin đã tạo ra một lĩnh vực mới là Cybernetics (Điều khiển học), lấy tên từ tựa đề quyển sách Cybernetics, or Control and Communication in the Man and the Machine (Cybernetics, hay Điều khiển và Thông tin trong Con Nguời và Máy móc) của ông xuất bản năm 1948.
Albert Einstein (1879 – 1955)
John von Neumann (1903 – 1957)
Norbert Wiener (1894 – 1964)Nét độc đáo của toán ứng dụng thế kỉ 20 là việc phát minh và phát triển máy tính điện tử. Khả năng của chúng có thể thực hiện các tính toán thông thường với tốc độ hàng tỉ phép tính mỗi giây đã làm thay đổi tận gốc rể các phương pháp giải quyết vấn đề không những trong khoa học vật lí mà cả trong khoa học xã hội nữa. Các môn khoa học xã hội đang chuyển trọng tâm cơ bản của mình từ khảo sát định tính sang định lượng, một sự chuyển đổi vô cùng khó khăn do thường có quá nhiều biến số có mặt trong các tình huống xã hội. Việc xử lí các biến số này thực sự không thể nào làm được bằng các kĩ thuật cũ, nhưng máy tính có thể mô phỏng và phân tích các tình huống phức tạp dính dáng tới hàng trăm yếu tố, kể cả con người, theo dõi các hậu quả ngẫu nhiên và các dữ liệu thích đáng khác. Vì thế, máy tính đang nhanh chóng trở thành một công cụ cần thiết cho nghiên cứu và huấn luyện trong kinh tế học, xã hội học, giáo dục và các lĩnh vực liên quan khác. Ngoài ra, “thời đại máy tính” cũng đang ảnh hưởng tới chính toán học nữa. Năm 1976 Wolfgang Haken và Kenneth Appel đã dùng máy tính để chứng minh bài toán tô màu (còn gọi là bài toán 4 màu [10])
(minh hoạ bài toán 4 màu)Vào cuối thế kỉ này, toán học cũng len lỏi vào cả nghệ thuật khi hình học phân dạng (fractal geometry) đã tạo ra những hình dạng đẹp đẽ chưa từng thấy trước đây. Người được xem như cha đẻ của loại hình học đương đại này là nhà toán học Mĩ Benoit B. Mandelbrot (1924 -), ông đã dùng máy tính khám phá ra hình nổi tiếng trong hình học phân dạng gọi là tập Mandelbrot. Máy tính cũng đã tạo ra nhu cầu cho một ngành logic toán mới quan tâm tới những vấn đề về thiết kế và điều khiển máy (như là lập mã) và trợ giúp và khuyến khích sự phát triển việc phân tích số liệu.
Benoit B. Mandelbrot (1924 – )
Tập hợp Mandlbrotchú thích
[6] Hiện nay 10 bài đã được giải quyết xong, 7 bài giải quyết một phần và 2 bài vẫn còn là bài toán mở. Còn 4 bài còn lại quá lỏng lẻo để có thể nói đã giải quyết hay chưa giải quyết được.[7] Nhóm Bourbaki cố ý bỏ đi chữ “s” cuối trong từ “Mathématiques” để thể hiện lòng tin mạnh mẽ của họ vào tính thống nhất của toán học.
[8] Hiện nay chỉ còn có Hội các công tác viên của Nicolas Bourbaki, hội này tổ chức các seminar Bourbaki 3 năm một lần. Các seminar này là những hội nghị quốc tế gồm hơn 200 nhà toán học đến dự để nghe trình bày các chủ đề lựa chọn bởi Bourbaki (hay Hội các cộng tác viên). Ấn phẩm cuối cùng của Hội này ra năm 1998, chương 10 của quyển VI Nhóm giao hoán.
[9] Vành là một tập hợp trên đó có 2 phép toán, có đầy đủ các tính chất giống như phép cộng và phép nhân trong tập số nguyên ngoại trừ phép toán thứ hai (tương tự phép nhân) không nhất thiết phải có tính giao hoán (vành với phép toán thứ 2 có tính giao hoán gọi là vành giao hoán).
[10] ‘Bài toán 4 màu’ phát biểu một cách đơn giản là: “Có thể dùng không quá 4 màu để tô màu bất kì một bản đồ nào” (dĩ nhiên phải thoả điều kiện là 2 nước có củng biên giới phải được tô khác màu).
