2. Từ năm 600 trước CN tới năm 400 CN
Cùng đến với thiên niên kỉ đầu tiên trước Thiên chúa là những thay đổi mạnh mẽ xảy ra trên các vùng đất quanh Địa Trung Hải. Thời đại Đồ Sắt đến đã mang theo với nó sự gia tăng về du lịch và giao thương, các thành phố mới mọc lên dọc theo các bờ biển Tiểu Á và Ai Cập, và sự ưu thế về kinh tế của các chủ đất phong kiến nhường bước trước vai trò đang lên của các nhà buôn giàu có. Việc trao đổi hàng hoá được đi kèm với việc trao đổi tư tưởng và sự giàu có đẻ ra các thú nhàn hạ, vì thế vào khoảng thế kỉ thứ 6 trước CN đã có những người mà sự sung túc của họ cho phép họ chi tiêu vào việc xa xỉ nghiên cứu tri thức. Với chữ “Tại sao?” đầu tiên toán học đã bước vào giai đoạn ba của sự phát triển, một khoa học nghiên cứu theo nhu cầu nội tại của chính mình.
Nhịp xung đầu tiên đó gắn liền với tên tuổi của Thales [Ta-let] ở Miletus (vào khoảng năm 640 tới khoảng năm 546 trước CN), một nhà buôn giàu có mà các chuyến du lịch của ông tới Babylon và Ai Cập đã giúp ông quen biết với nến toán học phương Đông. Cho tới lúc này, hình học vẫn còn trong ý nghĩa hạn hẹp của nó, là đo đạc đất đai, và tầm cở của nó chỉ là những quy tắc đơn giản để hoàn thành nhiệm vụ đó. Tuy nhiên Thales đã chọn sáu mệnh đề, trong đó có các mệnh đề “Một đường tròn được chia đều bởi đuờng kính bất kì” , “Hai đường thẳng cắt nhau tạo các cặp góc đối đỉnh bằng nhau” và “Các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng thì tỉ lệ với nhau” và ông đã chứng minh rằng mỗi mệnh đề sau được suy ra từ các mệnh đề đứng trước. Các mệnh đề trên tự chúng đã rất nổi tiếng nhưng cách tiếp cận của ông là một bước đi cấp tiên vượt khỏi toán học truyền thống. Thales cũng có cống hiến trong lãnh vực thiên văn và lí thuyết số. Với tư cách là nhà sáng lập trường phái Ionia, ông đã giảng dạy và ảnh hưởng sâu đậm nhiều bộ óc tinh tế nhất của Hi Lạp cổ.
Thales
Một thành viên đáng chú ý nhất của trường phái Ionia là Pythagoras [Pi-ta-go] mà cuộc đời bí ẩn không thua gì các công trình sáng chói của ông. Ngày sinh lẫn nơi sinh của ông đều không biết chắc, nhưng ý chung của nhiều nhà nghiên cứu đều cho rằng ông sống vào khoảng năm 570 tới năm 500 trước CN. Phần lớn cuộc đời ông được thêu dệt bằng các truyền thuyết do ông sớm thành một khuôn mặt đầy huyền thoại của Hi Lạp. Các môn đồ của ông họp thành nhóm kín tôn thờ ý niệm về Số và dấu kín các kiến thức như dấu vàng. Pythagoras tự mở một trường ở Crotona, một thị trấn của Magna Graecia trên bờ biển Đông Nam của bán đảo Italy [Ý]. Ở đó ông giảng dạy một thứ triết học dựa trên những thành tố không thể hoán đổi được của tự nhiên, được lồng trong và biểu thị bởi các số nguyên. Mặc dầu đam mê tính thần bí của các con số, trường phái Pythagore cũng đã có đóng góp to lớn vào lí thuyết số, thiên văn, và hình học. Pythagore là người đầu tiên đã nhấn mạnh tới các giả định (tiên đề hay định đề) như là cơ sở cho việc chứng minh, và ông đã đưa ra cách chứng minh đầu tiên cho định lí về tam giác vuông cho đến nay vẫn còn mang tên ông, Khá lạ lùng là trường phái Pythagoras laị là nơi xuất phát của một trong những ý tưởng có ý nghĩa nhất, đó là việc kiểm chứng lại một khái niệm mà tính đúng đắn của nó có thể phá hỏng hoàn toàn triết lí của chính họ. Họ đã khám phá ra sự tồn tại của các đoạn thẳng vô ước, mà theo thuật ngữ của chúng ta có nghĩa là sự tồn tại của các đại lượng vô tỉ hay đại lượng không thể biểu thị dưới dạng các số nguyên. Họ đã cố gắng ỉm đi khái niệm tệ hại này nhưng đã có những rò rĩ khiến chẳng bao lâu người ta đi tìm một triết lí mới khác về bản chất.
Pythagoras
Một khuôn mặt gây nhiều rắc rối trong thế giới tư tưởng còn nhiểu loạn của Hi Lạp là Zeno [Zê-nông] ở Elea, một nhà triết học đầu thế kỉ thứ 5 trước CN, từng giảng rằng chuyển động hay thay đổi thuộc bất cứ loại nào đều chỉ là biểu kiến. Đóng góp của ông cho Toán học gồm 4 nghịch lí mà ông đã đề ra cho các nhà tư tưởng cùng thời. Chúng bao gồm 2 quan điểm đối nghịch nhau về vô hạn và chuyển đông, với 2 nghịch lí cho mỗi quan điểm. Sau đây, xin nêu ra một ví dụ cho mỗi quan điểm:
“Achilles[1] – Achilles (A-sin) chạy để vượt qua mặt một con rùa đang bò phía trước sẽ không bao giờ qua mặt được con rùa, bởi vì trước nhất ông ta phải chạy đến chỗ bắt đầu của con rùa; khi Achilles tới chỗ đó thì con rùa đã rời đi và như thế nó vẫn còn trước ông. Tiếp tục lập luận như thế, dễ thấy con rủa sẽ luôn luôn ở phía trước Achilles.”
“Mũi tên – Một mũi tên bay, vào bất kì thời điểm nào thì sẽ hoặc là đang đứng yên hoặc là không đứng yên, tức là đang di động Nếu thời điểm là không phân chia được thì mũi tên không thể di động bởi vì nếu nó di động thì lập tức thời điểm có thể phân chia đuợc. Nhưng thời gian được tạo thành từ các thời điểm. Vì mũi tên không thể di động ở bất kì thời điểm nào nên nó không thể di động trong bất kì thời gian nào. Do đó mũi tên luôn luôn đứng yên.”
Bất kì cố gắng nào đê giải quyết các nghịch lí trên đều dính líu tới việc xem xét khái niệm giới hạn, và mặc dù những người cùng thời với Zeno đã không thành công trong việc tìm ra manh mối những rối rắm trong lời nói của ông, nhưng hạt giống mới đã được gieo xuống và cuối cùng hoa quả sẽ được kết thành sau này trong lãnh vực toán vi tích phân. Tuy nhiên, mầm giống mới này đã phải qua một thời gian tăng trưởng kéo dài 2000 năm.
Plato [Pla-tông] và Aristotle [A-rix-tôt] là điển hình cho kiểu tư duy mà người Hi Lạp đóng góp lớn nhất vào Toán học. Những phát triển của hai ông về các nguyên tắc suy luận logic và các phương pháp tiên đề trong chứng minh đã đặt Toán học lện một nền móng được xem là khó lay chuyển được cho tới thế kỉ hiện nay của chúng ta. Dưới sự dẫn dắt của hai ông, Toán học đã chia sẻ sự vinh quang của Thời Hoàng kim với tư cách là một khoa học triết lí không đứng sau lãnh vực nào khác. Trong giai đoạn này đã nổi lên “các bài toàn cổ” (problems of antiquity), có lẽ là các bài toán nổi tiếng nhất của mọi thời đại. Đó là các bài toán dựng hình hình học, chỉ được phép dùng thước kẻ (không khắc vạch) và compa để giải. Với hai dụng cụ đó, yêu cầu đề ra là:
(i) chia một góc ra 3 góc bằng nhau (Chia ba một góc),
(ii) tìm cạnh một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một hình cầu cho sẵn (Gấp đôi một hình cầu).
(iii) tìm một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn (Cầu phương một hình tròn).
Cả 3 đều là các câu hỏi mở cho mãi đến thời kì hiện đại, khi các phép dựng hình này cuối cùng đã được chứng minh là không thể thực hiện được. Tuy nhiên, sự kiện thực về sự tồn tại của chúng như một thứ đố chướng mắt trêu ngươi đã dẫn các học giả đến một loạt các khám phá mới.
Một trong các học giả đó là Eudoxus [Ơ-đôc] (vào khoảng năm 408 tới 355 trước CN), một học trò của Plato, vừa đồng thời là nhà vật lí, nhà lập pháp và nhà toán học. Tên ông được gắn với sự phát triển lí thuyết về tỉ lệ, lí thuyết này khắc phục được các khó khăn trong việc xử lí các đai lượng vô ước. Ông đã đưa ra “phương phát vét cạn”, một cách thức giải quyết việc tính diện tích và thể tích, rất tương tự với các ý niệm cơ bản của phép tính tích phân ngày nay.
Khi Đại đế Alexander chinh phục thế giới vào năm 334 trước CN, nền văn minh phương Tây bắt đầu thay đổi. Văn hoá và tư tưởng Hi Lạp hoà nhập với văn hoá và tư tưởng phương Đông, và trung tâm Toán học của thế giới phương Tây chuyển về Alexandria. Giai đoạn thăng hoa của nó bắt đầu với Euclid [Ơ-clid] (khoảng năm 300 trước CN), “một tác giả sách gíáo khoa thành công nhất mà cả thế giới chưa từng biết” và “người duy nhất mà vinh quang từng đến và sẽ không thể đến lần nữa trong việc đúc kết một cách thành công trong các trước tác mình tất cả những phần cốt lỏi của kiến thức Toán học tích tụ cho đến lúc đó”. Các công trình của ông có tính tổng hợp cao đến nổi chúng qua mặt tất cả các bộ sách trước đó, và vì lí do này mà rất ít các bản thảo của Hi Lạp trước Euclid còn giữ lại. Hầu hết các thông tin liên quan đến các công trình trước thế kỉ thứ 3 trước CN đều phải đươc xây dựng lại từ các nguồn tài liệu sao chép. Công trình vĩ đại của ông là bộ “Cơ bản” (Elements), một bộ sách 13 quyển sắp xếp như sau:
Quyển I – IV: hình học phẳng, bao gồm định lí Pythagoras;
Quyển V – VI: lí thuyết về tỉ lệ của Eudoxus và các ứng dụng vào các hình đồng dạng;
Quyển VII – IX: lí thuyết số, bao gồm thuật toán Euclid;
Quyển X: phân loại hình học các số vô tỉ toàn phương và các căn bậc hai của chúng;
Quyển XI – XIII: hình học không gian, dứt điểm bằng một chứng minh về sự tồn tại của 5 khối đa diện (Plato) đều.
Một số phần trong bộ tài liệu đó chắc chắn là công trình riêng của Euclid, và ông cũng đã thừa nhận công khai rằng ông đã thừa kế ở các phần khác nhưng một sự phân định chính xác giữa cái riêng của ông và cái thừa kế thì rất khó biết chắc. Tuy nhiên, kể cả khi ông không có đóng góp chút gì vào nguyên tác, bộ Cơ bản vẫn không giảm sút ý nghĩa vốn có của nó vì đó là một cố gắng thành công nổi bậc để sắp xếp lại toàn bộ các kiến thức toán học vào trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên đề đơn giản.
Euclid
Toán học Hi Lạp đã đạt tới đỉnh cao của sự phát triển với sự nở rộ của trường phái Alexandria. Cách sau Euclid không lâu là Archimedes [A-si-met] (287 – 212 trước CN), một nhà thiên văn đồng thời là người tiên phong trong lĩnh vực vật lí và toán ứng dụng và cũng là một nhà toán học lí thuyết. Ông học tập một thời gian ngắn ở Alexandria, sau đó trở về quê hương ông ở Syracuse. Việc ứng dụng khoa học để bảo vệ thành phố này chống lại bọn xâm lược Marcellus và cái chết sau đó của ông dưới tay một tên lính La Mã hung hăng rất nổi tiếng xin không được kể lại ở đây. Quan trọng nhiều hơn là các công trình của ông bao gồm các đóng góp chính yếu vào lí thuyết số và đại số, nhất là việc xử lí các dãy vô hạn, cùng với một số lượng đồ sộ các công trình hình học, trong đó ông đã phát triển một số các nguyên tắc nổi bậc của toán vi tích phân, đi trước Newton và Descartes độ 900 năm.
Một nguời cùng thời với Archimedes là Apolonius [A-pô-lô-ni-ut] (khoảng 260 – 210 trước CN) một nhà hình học có tầm cở. Bảy trong số 8 quyển sách sâu sắc của ông về các mặt cắt conic vẫn còn tồn tại nguyên vẹn. Trong các quyển sách này ông đã phát triển một cách có hệ thống nhiều tính chất cơ bản của ellip, parabol và hyperbol, khảo sát các chủ đề về tiêu chuẩn bằng nhau, đồng dạng của các đường cong này, các hình tiếp xúc, và các đa giác nội, ngoại tiếp. Thế giới không tìm thấy một nhà hình học tổng hợp nào khác ông cho đến khi Jacob Steiner xuất hiện vào thế kỉ 19.
Sau Apolonius, làn sóng toán học của Hị Lạp đạt tới đỉnh cao và suy thoái dần vào sự quên lãng cùng với các lĩnh vực còn lại của nền văn minh Hi Lạp. Chỉ có hai luồng sóng lớn xuất hiện vượt lên những gợn sóng lăn tăn của các tác gia nhỏ của giai đoạn này. Nhà thiên văn Ptolemy [Ptô-lê-mê] (Claudius Prolemacus, khoảng 85 – 165 CN) viết một sách tổng hợp về thiên văn được biết với tên là Almagest, trong đó các biên giới của toán học tính toán đã được mở rộng tới lượng giác phẳng và mở đầu của lượng giác cầu, bao gồm bảng các giá trị dây cung – góc và phép chiếu nổi. Khoảng một thế kỉ sau đó, Diophantus [Di-ô-phăng] ở Alexandria (khoảng 275 CN) viết bộ Số học (Arithmetica), một sự pha trộn tuyệt vời toán học Hi Lạp với toán học phương Đông mà 6 quyển trong só đó vẫn còn giữ được đến nay. Đó có thể xem như là một cột mốc trong sự phát triển của lí thuyết số, chứa đựng cách giải quyết các phương trình vô định và các bài toán đòi hỏi các nghiệm hữu tỉ. Đó cũng là tập sách đầu tiên trong đó một loại kí hiệu đại số được dùng một cách có hệ thống. Về mặt này Diophantus đi trước các học giả cùng thời nhiều thế kỉ.
Toán học phương Đông trong giai đoạn này ở cả Ấn Độ lẫn Trung Quốc vẫn còn chủ yếu là tính toán và né tránh chứng minh. Với ngoại lệ về sư cố đốt sách vào năm 213 trước CN, người Hoa đã có những bưóc tiến chậm nhưng vững chắc trong số học tính toán thủ công và cũng có thể nói như thế cho Ấn Độ.
(chú thích)
[1] Achilles một nhân vật trong thần thoại Hi Lạp có sức mạnh và thân thể không thể bị thương ngoại trừ ở gót chân (từ đó trong tiếng Anh có thành ngữ “Achilles’heel” để chỉ chỗ yếu của con người).