Trong quyển “Mathematics, the art of reason” của Birlinghoff có phần phụ lục về Lịch sử toán học viết cô đọng nhưng khá đầy đủ, phát hoạ bức tranh khá rõ nét và màu sắc về lịch sử phát triên toán học trên thế giới, xin giới thiệu với các bạn phần 1 và 2.
Nguồn: http://ptthchuyenbentre.net/forum/viewtopic.php?t=3211
1. Từ đầu cho đến thế kỉ 600 trước CN
Ở một nơi nào đó vào thời tiền sử, có lẽ trong thời đại Đá giữa (Middle Stone Age), từ muôn vàn các hiện tượng khác biệt trong thế giới vật lí người ta bắt đầu thấy lộ ra hai ý niệm tổng quát, ý niệm về số lượng (quantity) và hình dạng (form). Hai ý niệm song sinh này là thuỷ tổ của hai dòng tư tưởng lớn mà mối quan hệ thật sự của chúng vẫn chưa được sáng tỏ cho tới thế kỉ thứ 17 CN. Mặc dầu mọi nhận định về thời kì này chủ yếu dựa trên phỏng đoán nhưng người ta thường tin rằng các ý niệm về số lượng bắt đầu từ những cố gắng so sánh những nhóm vật thể bằng cách đếm, và dần dần tiến triển thành mốt số các hệ đếm nguyên sơ. Hệ đếm có sớm nhất trong các hệ đếm này khá đơn giản, thường dựa trên ý tưởng về 2 hay 3 vật, với những tập hợp chứa nhiều hơn 5 hay 6 vật được phân loại một cách đơn giản là “nhiều” hay “hàng đống” hay bằng những cách diễn tả cũng ở mức độ chính xác tương tự, cho mãi đến khi nhu cầu về giao dịch, đổi chác đã làm nẩy sinh ra những hệ đếm phát triển hơn. Sự xuất hiện của hình dạng bắt đầu với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các kiểu cách đan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên đồ gốm, các công trình kiến trúc. Các hình thái toán học của hình dạng chưa biểu lộ ra rõ ràng trong một thời gian dài, cái mà bây giờ chúng ta gọi là các hình hình học chỉ đơn giản là các mẫu trang trí thời đó.
Vào lúc khởi đầu của thời kì có sử, vào khoảng năm 5000 trước CN, toán học đã vào hẳn vào giai đoạn hai của sự phát triển. Các nhu cầu về định lượng của các xã hội xa xưa đã trở nên rộng rãi và thường xuyên đến nổi cần phải phát triển những phương pháp tổng quát để tính toán và ghi lại các quy luật và kết quả để dùng trong tương lai. Do người Babylon viết trên các tấm bằng đất sét gần như không hư hỏng được và giấy cói của người Ai Cập có thể giữ lâu trong khí hậu khô ráo của Bắc Phi nên hiện còn khá đủ các vết tích cho thấy một bức tranh khá chi tiết về những nổ lực đó trong các nền văn minh ban sơ của vùng Cận Đông. Những chứng cứ xưa nhất về các kiến thức toán học có tổ chức cho thấy hình như có sự tồn tại của một lịch Ai Cập vào năm 4241 trước CN, và có thể một lịch Babylon trước đó. Vào khoảng năm 3000 trước CN, người Sumery đã có thứ số học thương mại dùng được, và những bài viết trong Triều đại Ur thứ 3 cho thấy một hệ đếm vị trí cơ số 60 khá phát triển. Những bản văn của Triều đại Babylon thứ 1, lúc vua Hammurabi trị vì, cho thấy rằng vào khoảng năm 1950 trước CN người Babylon đã phát triển được thứ Đại số có khả năng xử lí các phương trình bậc nhất và bậc hai với hai ẩn, vả cả một số phương trình bậc cao hơn. Hình học của họ gồm các công thức diện tích và thể tích đơn giản, và cũng bao gồm việc thừa nhận một quy tắc về tam giác mà bây giờ chúng ta gọi là Định lí Pythagoras [Pi-ta-go]. Như vậy, giai đoạn đầu vĩ đại của toán học có thể được xem như gắn với người Babylon.
Những tiến bộ của người Ai Cập không ở sau quá xa các láng giềng của mình. Các vết tích xưa nhất hiện nay vẫn còn là quyển Ahmes Papyrus (còn được biết dưói tên Rhind Papyrus do được nhà khảo cổ thế kỉ 19 người Anh A. Henry Rhind mang bản thảo vế Anh) viết vào năm 1650 trước CN. Đây là một quyển sổ tay thực hành chứa các phương pháp giải các phương trình bậc nhất, các tài liệu về các phân số của đơn vị (một nét độc đáo của Toán học Ai Cập), các kĩ thuật đo lường, và các bài toán về các chuổi sơ cấp. Ahmes nêu rõ rằng ông chỉ chép lại một công trình trước đó được viết vào năm 1800 trước CN, và do đó có thể xem đây như là một sưu tập về các kiến thức toán học thời đó.
Hiểu biết của chúng ta hiện nay về nền toán học xa xưa ở Trung Quốc và Ấn Độ còn tương đối nghèo nàn. Những dân tộc này viết trên vỏ cây hay thẻ tre, vì vậy các bản sách rất dễ bị hư mục. Điều tệ hại này đôi khi lại nhân lên khi kết hợp với sự sai trái của con người. Chẳng hạn, vào năm 213 trước CN vua Tần Thỉ Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách vở hiện có lúc đó và đem chôn sống các học giả phản kháng để ông ta có thể được xem như người sáng lập một thời đại mới cho việc học tập. Tuy nhiên, người ta vẫn còn lén giữ được các bản chép lại của nhiều bộ sách xưa, trong đó có bộ “Chu bể toán kinh” một bộ sách đối thoại về thiên văn và toán học. Bộ này được viết một thời gian ngắn trước năm 1100 trước CN, và một số tư liệu trong đó thuộc về giai đoạn xưa hơn nhiều. Bộ “Chu bể” chứa các tư liệu về hình học đo lường, nguyên tắc tính của định lí Pythagoras, một số kiến thức lượng giác sơ cấp, và bàn luận về các dụng cụ đo lường trong thiên văn. Chúng ta biết còn ít hơn vế nền Toán học của Ấn Độ giai đoạn này. Tất cả những gì có thể nói được là có chứng cớ về sự tồn tại của một hệ đếm dùng được được dùng trong Thiên văn và các tính toán khác, và một nổi quan tâm thực hành về hình sơ cấp.
Nét nổi bậc của Toán học giai đoạn tiền Hi Lạp này là sự vắng mặt hoàn toàn của lí luận suy diễn. Không có chút quan tâm nào trong việc minh giải các phát biểu; các quy tắc được đưa ra là vì chúng dùng được. Các phương pháp thử-sai là nguồn gốc của các kiến thức, những kết quả thành công được ghi nhận và truyền lại cho các thế hệ sau dưới dạng các công thức. Chỉ mãi cho tới lúc nở rộ của nền văn minh Hy Lạp thì Toán Học mới bước vào thời kì rực rỡ của mình.