Lô hay đề?

Ngày nay, lô đề đã trở thành một trong những tệ nạn phổ biến nhất ở nước ta. Tác hại của nó (“đánh đề ra đê mà ở“)
thì ai cũng biết. Song số người đánh đề thì không giảm mà lại ngày càng
tăng. Đặc biệt là giới trẻ. Các diễn đàn lô đề mọc lên như nấm. Thấp
thoáng trên diễn đàn toán cũng có những câu hỏi làm sao để đánh lô đề được lãi. Trong bài viết này, tôi sẽ phân tích sơ lược về cái được, mất khi đánh lô đề. Hi vọng bạn đọc rút ra được kết luận cho mình.

“Ai ơi yêu lấy số đề
Khi đi một chỉ, khi về bảy cây !”

(Theo blog của GS Vũ Hà Văn)

Câu thơ này đã lừa được nhiều người.Giả
sử có ai đó trót dại đánh đề. Anh ta đánh $23000$ (đồng) cho $1$ con
đề. Xác suất anh ta trúng là $\frac{1}{{100}} = 0,01$. Nếu trúng, anh ta
được:

$23 000 . 70 = 1 610 000$ (đồng)

Vậy là lãi:

$1 610 000 – 23 000 = 1 587 000$ (đồng)

Xác suất anh ta trượt là: $1 – 0,01 = 0,99$. Nếu trượt anh ta lãi: $- 23 000$ (đồng)
Vậy trung bình anh ta được:

$1 587 000 . 0,01 – 23 000 . 0,99 = – 6 900$ (đồng)

Như vậy mỗi lần chơi đề, anh ta lỗ $6 900$ (đồng).Có người khuyên anh ta: “Hãy đi đánh lô, đánh lô dễ được lãi hơn”. Anh ta nghe theo.BÀI TOÁN ĐÁNH LÔ
Luật
chơi lô đại loại như sau: Sáng, bạn đặt cược $1$ con số trong phạm vi
từ $00$ đến $99$ và một số điểm lô, $a$ điểm chẳng hạn. Mỗi điểm lô phải
chi phí $23 000$ (đồng). Dàn lô gồm $27$ con lô (là $2$ chữ số cuối của
các số tại các giải Xổ số của Nhà nước phát hành).

Nếu có $k$ con lô trùng với số bạn đã đặt cược thì số người ta gọi là bạn đã trúng “$k$ nháy”. Mỗi “nháy”, chủ lô trả cho bạn $80 000 . a$ (đồng).Giả sử anh bạn của chúng ta đánh $1$ điểm lô. Anh ta chi hết $23 000$. Dễ thấy đánh lô là một phép thử Bernoulli.Xác suất để anh ta trúng đúng $k$ nháy ($k = 0, 1, …, 27$) là $C_{27}^k (0,01)^k (0,99)^{27 – k} $

Nếu trúng, anh ta được $80 000.k$ (đồng). Như vậy lãi :

$80 000. k – 23 000$ (đồng)

Vậy trung bình anh ta lãi:
$E = \sum\limits_{k = 0}^{27} {\left[ {C_{27}^k .\left( {0,01} \right)^k (0,99)^{27 – k} .\left( {80k – 23} \right)} \right]} $$=80\sum\limits_{k = 1}^{27} {\left[ {kC_{27}^k .\left( {0,01} \right)^k (0,99)^{27 – k} .} \right] – 23} $$=80.\frac{{27}}{{100}}\sum\limits_{k = 0}^{26} {\left[ {C_{26}^k .\left( {0,01} \right)^k (0,99)^{26 – k} .} \right] – 23} $

$=8.2,7 – 23 = -1,4$ (nghìn đồng)

Vậy trung bình anh ta lỗ $1 400$ (đồng).
Rõ ràng là đánh lô lỗ ít hơn đánh đề

Có người lại khuyên anh ta nên đánh một lúc nhiều con để được lãi. Anh ta làm theo lời khuyên vàng ngọc đó thì sẽ ra sao ?

Anh
chàng của chúng ta lần này đánh nhiều con đề để nâng khả năng trúng
lên. Anh ta đánh $n$ con đề khác nhau. Mỗi con đánh $1$ (nghìn đồng). Vị
chi là chi phí hết $n$ (nghìn đồng)

Xác suất anh ta trúng là $0,01n$. Nếu trúng, anh ta được $70$ (nghìn đồng). Tức là lãi: $70 – n$ (nghìn đồng)

Xác suất anh ta trượt là $(1 – 0,01n)$. Nếu trúng, anh ta được lãi: $- n$ (nghìn đồng).

Vậy trung bình anh ta lãi:

$$E_d(n) = 0,01n.(70-n) – n(1 – 0,01n) = -0,3n$$

$$\mathop {\max }\limits_{n \in [0;100]} E_d (n) = E_d (0) = 0$$

Vậy lãi nhất khi đánh đề là đánh $0$ con.
Hừm. Thế thì nói làm gì. Anh ta lầm bầm và đi đánh lô.Anh ta đánh $n$ con lô, mỗi con $1$ điểm. Thế là chi hết $23n$ (nghìn đồng).
Xác suất anh ta trúng đúng $k$ nháy ($k = 0, 1, 2, …, 27$) là
$$C_{27}^k \left( {\frac{n}{{100}}} \right)^k \left( {\frac{{100 – n}}{{100}}} \right)^{27 – k} $$.

Nếu trúng, anh ta được $80k$ (nghìn đồng). Tức là lãi: $80k – 23n$ (nghìn đồng).Từ đó, trung bình anh ta lãi:

$$E_l (n) = \sum\limits_{k = 0}^{27}
{\left[ {C_{27}^k \left( {\frac{n}{{100}}} \right)^k \left( {\frac{{100 –
n}}{{100}}} \right)^{27 – k} .\left( {80k – 23n} \right)} \right]} =
– \frac{{7n}}{5}$$

$$\mathop {\max }\limits_{n \in [0;100]} E_l (n) = E_l (0) = 0$$

Do đó lãi nhất khi đánh lô là đánh $0$ con.Vậy khôn ngoan nhất là nói KHÔNG với đánh lô đề. Người đánh đề đáng trách, người học toán, làm toán mà đánh đề còn đáng trách hơn.

Bài tập
1) Theo bạn, ai là người được lãi trong bài toán lô đề?2) Giả sử anh chàng của chúng ta đánh $n$ con lô, con thứ $k$ đánh $k$ điểm ($k = 1, 2, …, n$) thì được lãi bao nhiêu?
Anh chàng của chúng ta đánh $n$ con đề, con thứ $k$ đánh $k$ nghìn đồng ($k = 1, 2, …, n$) thì được lãi bao nhiêu?3) Bạn hãy đề xuất bài toán khác về lô đề

(Nguồn diendantoanhoc.net)