Các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà toán học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong. 
Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào phương pháp “vét cạn” của Hi Lạp, và sau này được Euxodus, sống khoảng 370 trước Công Nguyên, nâng lên thành lí luận khoa học. Sở dĩ gọi là phương pháp “vét cạn” vì ta xem diện tích của một hình được tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó.
Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (Ac-xi-met), (287-212 B.C), mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tình được diện tích giới hạn bởi tam giác cong parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và đỉnh và bằng 2/3 diện tích của hình bình hành ngoại tiếp. Để tìm ra kết quả này, Ác-xi-met dựng một dãy vô tận các tam giác, bắt đầu với tam giác có diện tích bằng A và tiếp tục ghép thêm các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có với đường parabol. Hình parabol dần dần được lấp đầy bởi các tam giác có tổng diện tích là: A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16+A/64… Diện tích giới hạn bởi parabol là: A(1 + 1/4 + 1/16+1/64+…) = (4/3)A.
Ác-xi-met cũng dùng phương pháp “vét cạn” để tính diện tích hình tròn. Đây là mô hình đầu tiên của phép tính tích phân, nhờ đó ông đã tìm được giá trị gần đúng của số pi ở khoảng giữa hai phân số 3 10/71 và 3 1/7.
Trong tất cả những khám phá của mình, Ac-xi-met tâm đắc nhất là công thức tính thể tích hình cầu. “Thể tích hình cầu thì bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp“. Thể theo nguyện vọng lúc sinh thời, sau khi ông mất, người ta cho dựng một mộ bia có khắc hoa văn một hình cầu nội tiếp một hình trụ.
Ngoài toán học, Ac-xi-met còn có những phát minh về cơ học, thủy động học. Tất cả học sinh đều quen thuộc với định luật mang tên ông về sức đẩy một vật thể khi nhúng vào một chất lỏng cùng với câu thốt bất hủ “Eureka! Eureka!” (Tìm ra rồi! Tìm ra rồi!) khi ông đang tắm. Ông tìm ra các định luật về đòn bẩy cùng câu nói nổi tiếng “Hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nhấc bổng quả đất“).
Dù ông có vẽ thích toán học hơn vật lí, nhưng Ac-xi-met vẫn là một kỹ sư thiên tài. Trong những năm quân xâm lược La Mã hùng mạnh tấn công đất nước Syracuse quê hương ông, nhờ có những khí tài do ông sáng chế như máy bắn đá, cần trục kéo lật tàu địch, gương parabol đốt cháy chiến thuyền, đã giúp dân thành Syracuse cầm chân quân địch hơn 3 năm. Cuối cùng quân La Mả cũng tràn được vào thành. Dù có lệnh tướng La Mã là Marcus không được giêt chết ông, một tên lính La Mã thô bạo xông vào phòng làm việc khi ông đang mê mãi suy nghĩ cạnh một sa bàn một bài toán hình dang dở. Khi thấy bóng của nó đổ lên hình vẽ, ông quát lên: ” Đừng quấy rầy đến các đương tròn của ta !”. Thế là tên lính nỗi cáu, đâm chết ông.
Sau khi ông mất, nền toán học hầu như rơi vào trong bóng tối cho đến thế kỹ thứ 17. Lúc này do nhu cầu kỹ thật, phép tính vi tích phân trở lại để giài quyết những bài tóan về sự biến thiên các đại lượng vật lý. Phép tính vi tích phận được phát triển nhờ tìm ra cách giải quyết được bốn bài toán lớn của thời đại:
1. tìm tiếp tuyến của một đường cong.
2. tìm độ dài của một đường cong.
3. tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng ; ví dụ tìm khỏang cách gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo có thể bay tới theo góc bắn đi của nó.
4. tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời gian biết phương trình giờ của vật thể ấy.
Vào khỏang giữa thế kỹ 17, những anh tài của thời đại, như Fermat, Roberval, Descartes, Cavalieri lao vào giải các bài toán này. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi Leibniz và Newton hoàn thiện phép tính vi tích phân.
Leibniz ( 1646-1716)
Ông là một nhà bác học thiên tài, xuất sắc trên nhiều lãnh vực: một nhà luật học, thần hoc, triết gia, nhà chính trị. Ông cũng giõi về địa chất học, siêu hình học, lịch sữ và đặc biệt tóan học.
Leibniz sanh ở Leipzig, Đức. Cha là một giáo sư triết học tại Đại học Leipzig, mất khi ông vừa sáu tuổi. Cậu bé suôt ngày vùi đầu ở thư viện của cha, ngấu nghiến tất cả các quyễn sách về đũ mọi vần đề. Và thói quen này đã theo cậu suôt đời. Ngay khi mới 15 tuổi, ông đã được nhận vào học luật tại Đại học Leipzig, và 20 tuổi đã đậu tiến sĩ luật. Sau đó, ông hoạt động trong ngành luật và ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho các ông vua bà chúa.
Trong những chuyến đi công cán ở Paris, Leibnz có dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học nổi tiếng, đã giùp niềm say mê toán học của ông thêm gia tăng. Đặc biệt, nhà vật lí học lừng danh Huygens đã dạy ông tóan học. Vì không phải là dân tóan học chuyên nghiệp, nên có nhiều khi ông khám phá lại những định lí toán học đã được các nhà toán học khác biết trước. Trong đó có sự kiện được hai phe Anh Đức tranh cãi trong suốt 50 năm. Anh thì cho chính Newton là cha đẻ của phép tính vi tích phân trong khi Đức thì nói vinh dự đó phải thuộc về Leibniz. Trong khi hai đương sự thì không có ý kiến gì. Đúng ra là hai người đã tìm được chân lý trên một cách độc lập: Leibniz tìm ra năm 1685, mười năm sau Newton, nhưng cho in ra công trình của mình trước Newton hai mươi năm.
Leibniz sống độc thân suốt đời và mặc dù có những đóng góp kiệt xuất, ông không nhận được những vinh quang như Newton. Ông trải qua những năm cuối đời trong cô độc và nổi cay đắng.
Newton(1642-1727)
Newton sinh ra tại một ngôi làng Anh Quốc. Cha ông mất trước khi ông ra đời, một tay mẹ nuôi nầng và dạy dỗ trên nông trại nhà. Năm 1661, ông vào học tại trường đại học Trinity ở Cambridge mặc dủ điểm hình học hơi yếu. Tại đây ông được Barrow, nhà toán học tài năng chú ý. Ông lao vào học toán và khoa học, nhưng tốt ngghiệp loại bình thường. Vì bệnh dịch hoành hành khắp châu Âu và lan truyền nhanh chóng đến London, ông phải trở lại làng quê và trú ngụ tại đó trong hai năm 1665, 1666. Chính trong thời gian này, ông đã xây dựng những nền tảng của khoa học hiện đại: khám phá nguyên tắc chuyển động các hành tinh, của trọng lực, phát hiện bản chất của ánh sáng. Tuy thế ông không phổ biến các khám phá của mình. Ông trở lại Cambridge năm 1667 để lấy bằng cao học. Sau khi tốt nghiệp, ông dạy học tại Trinity. Năm 1669, ông giữ chức giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo sư Barrow, một chức danh vinh dự nhất trong giáo dục. Trong những năm sau đó, ông đã công thức hoá các đinh luật hấp dẫn, nhờ đó giải thích được sự chuyễn động của các hành tinh, mặt trăng và thủy triều.Ông cũng chế tạo ra kình viễn vọng hiện đại đầu tiên.
Trong đời ông, ông ít khi chịu cho in các khám phá vĩ đại của mình, chỉ phổ biến trong phạm vi bạn bè đồng nghiệp. Năm 1687, trước sự khuyến khích nhiệt tình của nhà thiên văn học Halley, Newton mới chịu cho xúât bản cuốn Những nguyên tăc toán học. Tác phẩm này ngay lập tức được đánh giá là một trong những tác phẫm có ảnh hưởng lớn lao nhất của nhân loại. Cũng tương tự như thế, chỉ sau khi biết Leibniz đã in công trình của minh, ông mới công bố tác phẫm của mình về phép tính vi tich phân.
Vĩ đại như thế, nhưng khi nói về minh ông luôn cho rằng sở dĩ ông có đôi khi nhìn xa hơn kẻ khác vì ông đứng trên vai của các vĩ nhân. Và với những khám phá lớn lao của mình, ông nói: “Tôi thấy mình như một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, may mắn gặp được những viên sỏi tròn trịa, hoặc một vỏ sò đẹp hơn bình thường, trong khi trước mặt là một đại dương bao la của chân lí mà tối chưa được biết“.
(Sưu tầm)