Đề thi thử ĐH ĐHSP lần V – Thầy Đồ – Dạy toán

Câu I (2 điểm): Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm để trên đồ thị có hai điểm phân biệt $M(x_{M};y_{M})$ và $N(x_{N};y_{N})$ thỏa mãn:

$\begin{cases}x_{M}+y_{M}=k \\ x_{N}+y_{N}=k\end{cases}$

Chứng minh rằng hai điểm cùng thuộc một nhánh của đồ thị .

Câu II (2 điểm):

a) Giải phương trình:

$\sqrt{3}\sin \left( 3x-\dfrac{\pi}{5}\right) +2\sin \left( 8x-\dfrac{\pi}{3}\right) =2\sin \left(2x+\dfrac{11\pi}{15}\right) +3\cos\left( 3x-\dfrac{\pi}{5}\right)$

b) Giải phương trình

$x^{3}+x-7=\sqrt{x^{2}+5}$

Câu III (1 điểm): Tính tích phân:

$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^{4}x}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}dx$

Câu IV (1 điểm):

Cho lăng trụ xiên có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu của xuống mặt phẳng trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ biết $\widehat{BAA'}=45^{o}$

Câu V (1 điểm): Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

$\begin{cases} x+y^{2}+z^{4}=0 \\ y+z^{2}+x^{4}=0 \\ z+x^{2}+y^{4}=0\end{cases}$

Câu VI (2 điểm):

a) Trong mặt phẳng tọa độ cho E líp $(E):\quad \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ và đường thẳng $d:\quad 3x+4y-12=0$ . Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt . Tìm điểm thuộc sao cho diện tích tam giác bằng (đvdt).