Trường THPT Phan Đăng Lưu Nghệ An
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ĐIỂM):
Câu I (2 điểm) Cho hàm số $ y=x^3-3x+1$ có đồ thị là©.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị © của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị © tại điểm M sao cho điểm M và các điểm cực trị của đồ thị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 6.
Câu II (2 điểm). 1. Giải phương trình
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} cot x + \frac{sin2x}{sinx+cosx} = 2sinx(x+\frac{\pi}{2})\]
2. Giải bất phương trình:
\[ 8\sqrt{\frac{2x-3}{x+1}}+3 \geq 6\sqrt{2x-3}+\frac{4}{\sqrt{x+1}} \]
Câu III (1,0 điểm). Tìm nguyên hàm:
\[ l = \int \frac{sinx (1+14xcosx) -xsin4x}{7-2cos2x}dx \]
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Hình chiếu $H$ của $S$ lên mặt đáy trùng với trung điểm của $AO$. Mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc $60^o$ và $AB=a$. Tính theo a thể tích hình khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).
Câu V (1 điểm). Cho $a,b \epsilon R $ và $a>1, b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[ P=\frac{a^3+b^3-a^2-b^2}{(a-1)(b-1)} \]
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng $d_1: 4x+y-9,d_2: 2x-y+6=0$ và $ d_3: x-y+2=0$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết hình thoi ABCD có diện tích bằng 15, các đỉnh A,C thuộc $d_3$. B thuộc $d_1$ và D thuộc $d_2$.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(5;8;-11),B(3;5;-4);C(2;1;-6)$
và đường thẳng $ d: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Xác định tọa độ điểm $M\epsilon d$ sao cho $|\overrightarrow {MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa $x^2$ trong khai triển $(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}})^n$ , biết n là sô nguyên dương thỏa mãn:
\[ 2C^{0}_n + \frac{2^2}{2}C^{1}_n + \frac{2^3}{2}C^{2}_n+…+ \frac{2^{n+1}}{2}C^{n}_n=\frac{6560}{n+1}\]
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn $(C_1): x^2+y^2=13, (C_2):(x-6)^2+y^2=25$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua (2;3) và cắt $(C_1),(C_2)$ theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho $A(3;1;1),B(7;3;9)$. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng $(P): x+y+z+3=0$ sao cho $|\overrightarrow {MA}+ \overrightarrow{MB}|$
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VII.b(1 điểm). Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{matrix}4^{log_3(xy)}=2+2^{log_3(xy)} & \\log_4(x^2+y^2)+1=log_42x+log_4(x+3y)&\end{matrix}\right.\]
————————————————–Hết—————————————————