NĂM HỌC 2010-2011Môn thi : Toán – THPT (Bảng A)
Ngày thi : 28/10/2010
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3.0 điểm)
Với là số nguyên dương. Giải phương trình :
Bài 2: (3.0 điểm)
Giải hệ bất phương trình :
Bài 3 : (2.5 điểm)
Cho không có góc tù thõa mãn hệ thức :
Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 4 : (2.5 điểm)
Cho hàm số , có đồ thị là
. Gọi
là 3 điểm phân biệt trên
.
Chứng minh rằng trực tâm cũng nằm trên
.
Bài 5 : (2.0 điểm)
Chứng minh rằng :
Trong đó là các số thực dương.
Bài 6 : (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng, cho đường thẳng cố định và 1 điểm
cố định trên
. Gọi
là đường tròn lưu động ở trong 1 nửa mặt phẳng
có bờ
.
có bán kính
và luôn tiếp xúc với
, gọi
là tiếp điểm. Gọi I là tâm của đường tròn
. Chứng minh rằng có 1 parabol
cố định sao cho trục đẳng phương của
và đường tròn đường kính
luôn luôn tiếp xúc
khi
thay đổi trên
.
Bài 7 : (2.5 điểm)
Cho dãy số biết rằng:
Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tìm
.
Bài 8 : (2.5 điểm)
Cho tập hợp có 100.000 phần tử. Hỏi có phân chia tập
thành 100 tập hợp con
hay không, sao cho các tập hợp
thõa mãn các điều kiện sau:
_ Hợp tất cả các bằng tập hợp
_ Mỗi có đúng 2010 phần tử.
_ đều có đúng 20 phần tử.
Gợi ý: MATHSCOPE
BÀI 1:
Ta tách như sau: .
Mà: , viết tương tự cho các phần tử còn lại, ta có:
.
Suy ra: .
BÀI 5:
Đặt
( mà nó thì đúng do AM -GM)
BÀI 3:
Đẳng thức đã cho tương đương với
.
Khảo sát hàm trên đoạn
, ta có
.
Từ đó suy ra .
Đẳng thức xảy ra đều.
BÀI 6:
Xét bài toán trong hệ trục tọa độ .
Giả sử
Gọi là giao điểm thứ hai của
và đường tròn đường kính
. Ta có
đối xứng với
qua
có phương trình
. Suy ra
.
Từ đó tìm được phương trình đường thẳng (cũng chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn) là
.
Đến đây ta dễ dàng chứng minh được luôn tiếp xúc với parabol
Comments are closed.