Câu I (2,0 điểm)
1) Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với $a,b,c$ là các số nguyên.
Chứng minh rằng biệt thức $\Delta$ của phương trình không thể bằng 23.
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}$
Câu II (2,0 điểm)
1) Cho phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x}-\sqrt{(x-2)(5-x)}=m$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm.
2) Cho hai phương trình bậc hai:
$x^2+3x+m-1=0$ và $x^2+x^2-m+1=0$.
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt va nghiệm của hai phương trình đó xen kẽ nhau.
Câu III (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: $3x^2-3x+3=(3x-1)\sqrt{x^2-x+3}$.
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y\left( {y – 2x – 1} \right) = 4 \\ {y^2} + y – x = 4 \\
\end{array} \right.$
Câu IV (3,0 điểm)
1) Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M thỏa điều kiện $BM=2MC$. Xác định điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho hai đường thẳng BK và AM vuông góc với nhau.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có góc $\widehat{BAD}$ nhọn. Biết đường thẳng BD qua điểm M(1;3), đường thẳng AB có phương trình $2x+y+1=0$ và đường thẳng AD có phương trình $x+2y+8=0$. Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD.
Câu V (1,0 điểm)
Cho $x,y$ là các số thực thỏa $x+y+2=2(\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2})$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y+3}$
(Nguồn diendantoanhoc.net)