Đề thi HSG 12 Long An (vòng 1) năm học 2010 – 2011 – Thầy Đồ – Dạy toán

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH VÒNG 1
MÔN TOÁN. NGÀY THI 14/10/2010
THỜI GIAN LÀM BÀI: 180 phút (không kể phát đề)

Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) $\blue \left\{\begin{matrix} 3x = y^{3} + y^{2} + y & & \\ 3y = x^{3} + x^{2} + x & & \end{matrix}\right.$

b) $\blue \left\{\begin{matrix} 3x = y^{3} + y^{2} + y & & \\ 3y = z^{3} + z^{2} + z & & \\ 3z = x^{3} + x^{2} + x & & \end{matrix}\right.$

Câu 2.
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi M là điểm tùy ý nằm trên đường tròn này.
a) Chứng minh: MA² + MB² + MC² = 6R².
b) Chứng minh: MA⁴ + MB⁴ + MC⁴ = 18R⁴.
c) Thay tam giác ABC đều bằng hình vuông ABCD.
Hãy tính P = MA² + MB² + MC² + MD² ; Q = MA⁴ + MB⁴ + MC⁴ + MD⁴.

Câu 3.
Cho số thực $\blue \alpha$ và xét dãy số (x_n) với $\blue \left\{\begin{matrix} {x}_{1} = \alpha & & \\ {x}_{n+1} = {{x}_{n}}^{2} - 2{x}_{n} + 2 & & \end{matrix}\right.$ (n $\blue \in$ N*)

a) Với $\blue \alpha$ $\blue \in$ (1 ; 2). Chứng minh 1 < x_n < 2 với mọi n $\blue \in$ N* và (x_n) là dãy số giảm.
b) Với $\blue \alpha \in$ [1 ; + $\blue \propto$ ). Tùy vào giá trị của $\blue \alpha$ , tìm giới hạn của (x_n).

Câu 4.
a) Cho a, b, c > 0 và $\blue \frac{1}{{a}^{2}} + \frac{1}{{b}^{2}} + \frac{1}{{c}^{2}} = 3$ . Chứng minh abc $\blue \geq \frac{a+b+c}{3}$ .

b) Cho a, b, c > 0 và $\blue \frac{1}{{a}^{3}} + \frac{1}{{b}^{3}} + \frac{1}{{c}^{3}} = 3$ . Chứng minh abc $\blue \geq \frac{a+b+c}{3}$ .

Câu 5.
Trên [0 ; 2 $\blue \pi$ ) xét n (n $\blue \in$ N*) phương trình: cosx = 1; cos2x = 1; cos3x = 1; …; cosnx = 1.
Ta đếm tất cả các nghiệm của n phương trình trên. Đặt kết quả của phép đếm là T.
Ta tính tổng tất cả các nghiệm của n phương trình trên và đặt kết quả là S.
a) Giải phương trình: cosnx = 1 trên [0 ; 2 $\blue \pi$ ).
b) Chứng minh: S = (T – n) $\blue \pi$ .