Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội (vòng 1) năm 2010 – Thầy Đồ – Dạy toán

Bài I (6 đ)

Giải hệ phương trình
$\blue \left\{ \begin{matrix} x^2+y^2+1=2x+2y \\ (2x-y-2)y=1 \end{matrix}\right.$
Tìm tất cả giá trị của tham số $\blue a$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm
$\blue \left\{ \begin{matrix} x^2-7x-8<0 \\ a^2 x>(3a-2)x+2 \end{matrix}\right.$

Bài II (4 đ)

Cho $\blue \Delta ABC$ có $\blue a,b,c$ là độ dài các cạnh, $\blue h_a,h_b,h_c$ là các đường cao tương ứng và $\blue R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng
$\blue (ab+bc+ca)\left( \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+ \frac{1}{h_c}\right)\ge 18 R$
Từ các chữ số $\blue 1,2,3,4,5,6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của 3 chữ số còn lại là 3 đơn vị.

Bài III (4 đ)

Chứng minh rằng có duy nhất một điểm thuộc đồ thị $\blue (C)$ của hàm số $\blue y=x^3-3x^2+2$ mà qua điểm đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến tới $\blue (C)$
Tìm tất cả các giá trị của $\blue x$ sao cho ứng với các giá trị đó hàm số sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
$\blue y=\sin^5 x-3\sin^4 x+\sin^3 x\cos^2 x -3\sin^2 x \cos^2x+2$

Bài IV (2 đ)
Cho dãy số $\blue (u_n)$ với $\blue u_n=\frac{4n+1}{2^n}$ . Dãy $\blue (s_n)$ được cho bởi $\blue s_n=\sum_{i=1}^n u_i$ . Tìm $\blue \lim s_n$
Bài V (4 đ)
Trong mặt phẳng $\blue (P)$ cho đoạn thẳng $\blue AB$ . Gọi $\blue O$ là trung điểm $\blue AB$ và $\blue M$ là điểm tùy ý trên đoạn $\blue OB \, (M\ne B)$ . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $\blue AB$ của $\blue (P)$ , dựng các hình vuông $\blue AMCD, MBEF$ . Điểm $\blue S$ thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\blue (P)$ tại $\blue A \, (S\ne A)$ .

Xác định vị trí của điểm $\blue M$ để tổng thể tích của 2 khối chóp $\blue S.ABF$ và $\blue S.ACF$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đường thẳng $\blue AF$ cắt đường thẳng $\blue BC$ tại điểm $\blue N$ . Điểm $\blue H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $\blue S$ trên đường thẳng $\blue MN$ . Tìm quỹ tích của $\blue H$ khi $\blue M$ di chuyển trên đoạn $\blue OM$

……………HẾT……………