Đề thi Chọn đội tuyển TP.HCM 2011-2012 – Thầy Đồ – Dạy toán

Ngày thứ nhất

Bài 1: (4đ)
Giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases}{x^{y+1}=(y+1)^x} \\{\sqrt{-4x^2+18x-20}+\dfrac{2x^2-9x+6}{2x^2-9x+8}=\sqrt{y+1}}\end{cases}$

Bài 2: (4đ)
Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại C,D (B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt $(O_1)$ tại P khác C. Đường thẳng MD cắt $(O_2)$ tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Cm MO vuông góc EF.

Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương, cm rằng:
$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Bài 4: (4đ)
Cho đa thức $P(x)=x^{2012}-mx^{2010}+m (m \neq 0)$ . Giả sừ P(x) có đủ 2012 nghiệm thực. Cm rằng trong các nghiệm của P(x) có ít nhất một nghiệm $x_o$ thỏa mãn $|x_o|\leq \sqrt{2}$

Bài 5: (4đ)
Cho các số nguyên x,y. Biết rằng $x^2-2xy+y^2-5x+7y$ và $x^2-3xy+2y^2+x-y$ đều chia hết cho 17. Cm rằng $xy-12x+15y$ chia hết cho 17.

————–

Ngày thứ hai

Bài 1: (4đ)
Tìm tất cả các hàm $f: R\rightarrow R$ thỏa
$f(f(x)+y)=f(x^2-y)=4yf(x)$

Bài 2: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, lấy P,Q bất kỳ thuộc AB,AC. M,N,J lần lượt là trung điểm BP,QC,PQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ cắt PQ tại R. Cm OR vuông góc PQ

Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương. Cm
$\dfrac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \dfrac{a+b+c}{4}$

Bài 4: (4đ)
Tìm số hạng tổng quát của dãy $u_n$ thỏa

$\begin{cases}{u_1=\dfrac{4}{5}} \\{u_{n+1}=\dfrac{u_n^4}{u_n^4-8u_n^2+8}}\end{cases}$

Bài 5: (4đ)
Tìm các số nguyên dương a,b sao cho $a^2b^2-4(a+b)$ là bình phương của một số nguyên