ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
Câu 1. Cho dãy số $x_1 =2; x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\forall n \geq 1$. Chứng minh rằng:
$\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n=1$ và tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n^n$
Câu 2. Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$, ta xác định hàm số:
$$g(x)=f(x)\left ( \int_{0}^{x}f(t)dt \right )^{2011}$$
Chứng minh rằng nếu $g(x)$ là hàm không tăng thì $f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Câu 3.
Cho hàm số $f:\left [ a;b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ có $f’$ liên
tục trên $\left [ a;b \right ]$ và $\exists x_0 \in (a;b]$ sao cho
$f'(x_0) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:
$$f'(c\ )=\dfrac{f(c\ )-f(a)}{b-a}$$
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$$f\left ( f\left ( f(x) \right ) \right )=x,\forall x \in \mathbb{R}$$
Câu 5.
Cho $f:[0;+\infty) \rightarrow (0;+\infty)$ là hàm số liên tục thỏa mãn
$\lim_{x\rightarrow \infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tồn tại, hữu hạn. Chứng
minh rằng:
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}dt=0$$
Câu 6.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và
phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng
minh rằng:
$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$
(VMF)