Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán sinh viên 2012 ĐH KTQD

TRƯỜNG ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN
KHOA TOÁN KINH TẾ
BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN
—————
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012
Môn: Giải tích. Ngày thi: 26/02/2012
Thời gian làm bài: 180 phút


Câu 1.
Cho dãy số $x_1 =2; x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\forall n \geq 1$. Chứng minh rằng:
$\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n=1$ và tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n^n$

Câu 2. Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$, ta xác định hàm số:
$$g(x)=f(x)\left ( \int_{0}^{x}f(t)dt \right )^{2011}$$
Chứng minh rằng nếu $g(x)$ là hàm không tăng thì $f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Câu 3.
Cho hàm số $f:\left [ a;b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ có $f’$ liên
tục trên $\left [ a;b \right ]$ và $\exists x_0 \in (a;b]$ sao cho
$f'(x_0) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:
$$f'(c\ )=\dfrac{f(c\ )-f(a)}{b-a}$$

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$$f\left ( f\left ( f(x) \right ) \right )=x,\forall x \in \mathbb{R}$$

Câu 5.
Cho $f:[0;+\infty) \rightarrow (0;+\infty)$ là hàm số liên tục thỏa mãn
$\lim_{x\rightarrow \infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tồn tại, hữu hạn. Chứng
minh rằng:
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}dt=0$$

Câu 6.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và
phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng
minh rằng:
$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$
(VMF)