Đề chọn đội tuyển HSG Toán – ĐH Vinh 2011-2012 – Thầy Đồ – Dạy toán

Bài 1
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}xy-x+y=3\\ 4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+9x=-{{y}^{3}}+6y+5\end{matrix}}$

Bài 2:
Xác định hàm liên tục $f:[0;\infty)\rightarrow [0;\infty)$
$2f(x)=f(\frac{x}{x^2+x+1})+f(\frac{x+1}{2})$

Bài 3
Cho đường tròn (O) đường kính AB.Trên đường thẳng AB lấy điểm M nằm ngoài (O). Qua M kẻ đường thẳng cắt (O) tại E,F (E nằm giữa M và F). Gọi H là giao điểm của BE và AF. K là giao điểm của AE và BF. Đường thẳng MH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng: $\hat{OPK}=\hat{OQK}=90^0$
Bài 4
Trong lễ khai mạc thế vận hội 2012, ban tổ chức dự kiến thực hiện một chương trình đồng diễn xếp người. Có 2012 người tham dự đồng diễn. Trong mỗi lần sắp xếp đội hình, tất cả mọi người được chia thành hai nhóm với số người bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của số lần sắp xếp đội hình thỏa mãn điều kiện với hai người bất kì, có ít nhất một lần họ ở hai nhóm khác nhau trong một lần sắp xếp nào đó.
—-Hết ——–