Các vấn đề lịch sử của chuỗi số – chuỗi hàm – Thầy Đồ – Dạy toán

1. Sự xuất hiện của chuỗi hàm:

Chuỗi hàm xuất hiện từ rất sớm. Ngay từ thế kỷ thứ 14, nhà toán học Ấn Độ – Madhava (1350 – 1425) ở vùng Sangamagramma (bang Kerala, miền Tây – Nam của Ấn Độ) đã biết cách biểu diễn một số hàm lượng giác thành các chuỗi vô hạn và đánh giá sai số sinh ra khi “cắt đuôi” của chuỗi.

Các bài viết về Toán học của ông hiện nay không còn nữa, nhưng một số bài viết về thiên văn của ông thì vẫn còn sót lại. Tuy nhiên, các công trình chói lọi về Toán học của ông lại được truyền bá bởi một số nhà Toán học khác vùng Kerala, như là Nilakantha, người sống sau ông khoảng 100 năm.

Madhava tìm ra chuỗi của các hàm $\sin x , \cos x , \arctan x$ vào khoảng năm 1400, tức là khoảng 200 năm trước khi chúng được biết đến ở Châu Âu. Thời ấy, người ta mô tả các chuỗi bằng lời (khá phức tạp), mà nếu phiên ra ngôn ngữ Toán học hiện nay thì chuỗi của Madhava được mô tả như sau:

$rq = { \dfrac{r(rsinq)}{1(rcosq)}} - { \dfrac{r(rsinq)^3}{3r(rcosq)^3}} + { \dfrac{r(rcosq)^5}{5r(rcosq)^5}}-{ \dfrac{r(rsinq)^7}{7r(rcosq)^7}} + ...$

trong đó r là bán kính vòng tròn mà ông dựa trên đó để tính toán. Nếu đặt $tanq={ \dfrac{sinq}{cosq}}$ và khử r ở cả tử và mẫu thì ta thu được chuỗi sau đây:

$q = tanq - { \dfrac{tan^3q}{3}} +{ \dfrac{tan^5q}{5}}-{ \dfrac{tan^7q}{7}}+...$

Từ đây, nếu thay q bởi arctanq thì ta được chuỗi mà Gregory đã nhận được vào thế kỷ thứ 17 , đó là:

$arctanq = q -{ \dfrac{q^3}{3}}+{ \dfrac{q^5}{5}}-{ \dfrac{q^7}{7}} + ...$

Khi cho $q ={ \dfrac{\pi}{4}}$ thì Madhava nhận được:

${ \dfrac{\pi}{4}}=1-{ \dfrac{1}{3}}+{ \dfrac{1}{5}}-{ \dfrac{1}{7}}+ ...$

và nếu cho $q={ \dfrac{\pi}{6}}$ thì ông nhận được:

$\pi = \sqrt{12} \left( 1 - \dfrac{1}{3.3} + \dfrac{1}{5.3^2} - \dfrac{1}{7.3^3} + ... \right)$

Chúng ta cũng biết rằng Madhava nhận được xấp xỉ của số $\pi$ chính xác đến 11 chữ số thập phân, cụ thể là $\pi = 3.14159265359$ bằng cách lấy 12 số hạng đầu trong chuỗi nêu trên.

Điều đặc biệt ấn tượng là việc Madhava cho biết cả phần dư của chuỗi. Ví dụ với chuỗi

${ \dfrac{\pi}{4}} = 1 - { \dfrac{1}{3}} + { \dfrac{1}{5}} - { \dfrac{1}{7}} + ... +(-1)^{n-1} { \dfrac{1}{2n-1}} \pm R_n$

thì $R_n$ có một trong 3 dạng là: $R_n={ \dfrac{1}{4n}} , R_n={ \dfrac{n}{4n^2+1}}, R_n={ \dfrac{n^2+1}{4n^3+5n}}$

Madhava còn cho một bảng tính 24 giá trị hàm $\sin$ tại 24 điểm chia đều các góc phần tư thứ nhất của vòng tròn lượng giác, với độ chính xác đến hoàn hảo. Người ta cho rằng điều này chỉ đạt được nếu như ông sử dụng phép phân tích hàm sin ra chuỗi.

Để giải thích cho việc Madhava, ngay từ năm 1400, đã có thể tìm được các chuỗi tương đương với những chuỗi mà Newton tìm ra sau hơn một phần tư thiên niên kỷ (khoảng năm 1676), các nhà lịch sử Toán học cho rằng Madhava có lẽ đã sử dụng phương pháp tương tự như là tích phân từng thành phần của chuỗi. Cùng quan điểm trên, nhà Toán học Joseph đã viết về Madhava trong quyển The crest of the peacock (London, 1991) như sau:

We may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis. Some of his discoveries in this field show him to have possessed extraordinary intuition, making him almost the equal of the more recent intuitive genius Srinivasa Ramanujan, who spent his childhood and youth at Kumbakonam, not far from Madhava’s birthplace.

2. Tiêu chuẩn hội tụ:

Các thuật ngữ “hội tụ” (convergence) và “phân kỳ” (divergence) đối với chuỗi hàm được đưa ra bởi Gregory ngay từ năm 1668, như các khảo cứu thực sự về sự hội tụ của chuỗi vô hạn chỉ được khởi đầu sau đó gần 150 năm bởi Carl Friedrich Gauss (nhà toán học người Đức, 1777 – 1855) , khi ông xem xét các chuỗi dạng “siêu cấp số nhân”

$1 +{ \dfrac{{\alpha}{\beta}}{1.{\gamma}}}x+ { \dfrac{{\alpha}({\alpha}+1){\beta}({\beta}+1)}{1.2.{\gamma}.({\gamma}+1)}}x^2 + ...$

và công bố một công trình vào năm 1812. Ông đã thiết lập tiêu chuẩn hội tụ và xem xét các vấn đề khoảng hội tụ cũng như phần dư của chuỗi.

Cauchy là người thiết tha với các dấu hiệu hội tụ chặt chẽ. Ông chỉ ra rằng hai chuỗi hội tụ thì tích của chúng không nhất thiết là hội tụ. Nhiều tiêu chuẩn hữu hiệu về tính hội tụ được khởi nguồn từ ông. Euler và Gauss cũng đóng góp nhiều tiêu chuẩn hội tụ khác. Maclaurin cũng đã biết trước một số tiêu chuẩn mà Cauchy đã phát hiện ra sau này.

Abel tham gia việc thiết lập tiêu chuẩn hội tụ vào năm 1826 bằng công trình về chuỗi lũy thừa:

$1 +{ \dfrac{m}{1}}x+{ \dfrac{m(m-1)}{2!}}x^2 + ...$

Ông hiệu chỉnh một số kết luận của Cau chy và chỉ ra sự cần thiết cần phải xem xét tính liên tục trong vấn đề hội tụ. Phương pháp của Cauchy cho kết quả như một trường hợp riêng (và các kết quả sau này của Raabe, năm 1832, của De Morgan, năm 1842, và một loạt người khác nữa cũng như vậy). Tiêu chuẩn Abel dưới dạng tổng quát như ta thấy ngày nay thực ra được phát triển sau này bởi nhiều người, trong đó có Weierstrass.

Dirichlet được biết đến nhiều với những công trình về các điều kiện hội tụ của chuỗi lượng giác và phương pháp sử dụng chúng để biểu diễn các hàm số. Tiêu chuẩn Dirichlet được đưa ra với mục đích trước hết là áp dụng cho các chuỗi này.

3. Hội tụ đều:

Lý thuyết hội tụ đều được Cauchy đưa ra vào năm 1821, và những hạn chế của nó được chỉ ra bởi Abel. Thừa nhận các ý kiến của Abel, Cauchy đã xem xét lại vấn đề vào năm 1853, và khắc phục được những hạn chế này. Tuy nhiên, các kết quả của Cauchy cũng lại đã được biết trước đó ít lâu bỏi Stokes và Seidel (vào các năm 1847 và 1848). Đã có một sự chậm trễ đáng kể trong việc nhận thức ra sự khác biệt quan trọng giữa hội tụ đều và hội tụ không đều, bất chấp sự đòi hỏi từ phía lý thuyết hàm

4. Chuỗi Fourier:

Chuỗi lượng giác được khảo cứu như kết quả một số nghiên cứu về vật lý đồng thời bởi Gauss, Abel và Cauchy. Các chuỗi khai triển cho sin và cosin cũng đã được xem xét bởi anh em nhà Bernoulli ngay từ những năm 1701 – 1702, và thậm chí sớm hơn bởi Viète. Ngoài ra, Euler, Larrange và một số người khác cũng tham gia vào hướng nghiên cứu này.

Năm 1807, Fourier đưa ra phương pháp biểu diễn hàm số liên tục bằng tổng của chuỗi lượng giác và sử dụng vào việc giải phương trình truyền nhiệt trong vật thể rắn. Năm 1822, ông cho công bố công trình “Lý thuyết giải tích của nhiệt” và mở ra một thời kỳ mới về ứng dụng toán học trong các khoa học khác.

Trên thực tế, Euler là người đã đưa ra công thức tính các hệ số trong khai triển, còn Fourier thì phát biểu và có một số cố gắng trong chứng minh định lý tổng quát. Tuy nhiên, Fourier đã không đặt ra vấn đề hội tụ cho chuỗi của mình, mà chính Cauchy đã nhìn ra vấn đề này và có đưa ra một số kết quả. Poisson cũng đã xem xét vấn đề này nhưng từ một khía cạnh khác. Kết quả của Poisson về sự hội tụ của chuỗi Fourier được Cauchy chỉ ra là thiếu chặt chẽ. Tuy nhiên, chính công trình của Cauchy về vấn đề này cũng được Dirichlet chỉ ra là sai. Vấn đề chỉ được giải quyết một cách cơ bản bằng công trình của Dirichlet, đăng trên tạp chí Crelle vào năm 1829. Với công trình này, nhiều người xem ông là người sáng lập ra Lý thuyết chuỗi Fourier. Công trình nêu trên của Dirichlet sau đó được chỉnh sửa và hoàn thiện thêm bởi một học trò của ông là Riemann vào năm 1854. Sau đó, lý thuyết về chuỗi Fourier còn nhận được sự đóng góp của rất nhiều người khác như: Heine, Lipschitz, Schlafli, Dini, Hermite, Halphen, Krause, Byerly và Appell.

Ngày nay, những chuyên gia về xử lý tí hiệu số (trên cả hai lĩnh vực âm thanh và hình ảnh) là những người hiểu hơn ai hết vai trò quan trọng của chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Có thể nói rằng hầu hết các thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay đều có chứa con “chip” làm nhiệm vụ chuyển đổi các hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu số), và đôi khi cũng kiêm luôn cả chức năng “khử nhiễu” hay “hiệu chỉnh tín hiệu” dựa trên các phép biến đổi Fourier.

Nguồn:

1. Madhava;

2. Giáo trình Toán học Hàm số 1 biến – Bộ sách Toán Cao cấp – Viện Toán học Việt Nam