Giáo trình hình học đại số

Trong hình học đại số, các đối tượng hình học được mô tả bằng một ngôn ngữ đại số thuần tuý. Bên ngoài trực quan hình học và đại số hình thức có vẻ đối lập nhau, sự phát triển của hình học đại số trong thế kỷ 20 đã chứng minh điều ngược lại: một ngôn ngữ đại số phù hợp có khả năng diễn đạt trực quan hình học một cách rất chính xác.

Vào cuối thế kỷ 19 hình học đại số đã phát triển mạnh ở Italia với những tên tuổi như Castelnuovo hay Severi, gặt hái được nhiều kết quả đẹp đẽ về các đối tượng tương đối cụ thể như đường cong và mặt đại số.Do thiếu một nền tảng đại số vững chắc, các nhà toán học Italia còn dùng nhiều công cụ giải tích và đôi khi mắc phải những ngộ nhận hình học dẫn đến những chứng minh không đầy đủ. Phải đến Zariski và Weil, đại số giao hoán mới trở thành công cụ chính trong hình học đại số. Vào những năm giữa thập kỷ 20, hình học đại số có thêm một lần lột xác. Những người đi tiên phong trong giai đoạn này là Serre và Grothendieck. Grothendieck sử dụng lí thuyết phạm trù vào hình học đại số một cách có hệ thống. Ý tưởng của ông coi đa tạp đại số như một hàm tử là một ‎ tưởng then chốt trong lí thuyết lược đồ.

Một cái hay của ngôn ngữ hình học đại số là, mặc dù phạm trù và hàm tử là những khái niệm rất trừu tượng, nó cho phép ta diễn đạt một cách trong sáng những trực quan hình học cụ thể nhất và thật sự giúp ta hiểu thêm về những đối tượng cụ thể ví dụ như đường cong, mặt … Nhưng đó cũng đồng thời là cái khó cho người học hình học đại số và cho người viết giáo trình hình học đại số. Xem các giáo trình tiếng nước ngoài đã có, nổi tiếng nhất là các cuốn của Hartshorne, Mumford, Shafarevich, ta thấy các cuốn này có nội dung rất khác nhau, hầu như ít có phần giao nhau. Người viết cuốn này cũng phải lựa chọn một tuyến đường riêng, để dẫn dắt bạn đọc tham quan xứ sở diệu kỳ của hình học đại số. Theo quan điểm sư phạm riêng, tuyến đường được chọn là các đại lộ chính, có thể không có gì thật ngoạn mục, nhưng nó giúp ta đi xa hơn và có thể tránh cho người tham quan có cảm giác bị lạc đường.

Nội dung quyển giáo trình này tất nhiên không có gì mới. Nếu có gì mới thì nó nằm trong cách trình bày và thứ tự sắp xếp các khái niệm. Trong từng phần riêng rẽ, chắc chắn là người viết có vay mượn từ các sách đã có, chủ yếu từ cuốn của Hartshorne và của Mumford. Người viết cũng không hề ngần ngại lược bớt đi hoàn toàn một số chứng minh quá rắc rối hoặc chỉ trình bày chứng minh trong một trường hợp đặc biệt nhưng đặc thù. Các chứng minh chi tiết và đầy đủ thì bạn đọc nếu cần có thể tham khảo sách của Hartshone. Ở đây, tôi chỉ mong muốn bạn đọc nắm được cách tính toán cụ thể trong một số trường hợp cụ thể và hiểu được nội dung của định lí thông qua các tính toán đó.