1+1=? – Thầy Đồ – Dạy toán

Ai cũng biết bài toán này …. quá dễ…

1+1=2 (ai cũng chịu kể cả em bé học lớp 1)

1+1=10 ( cơ số 2)

theo bạn “một cộng một bằng mấy?”

Một vài đáp án vui vui:

1+1=1 ( 1 đống rơm+1 đống rơm=1 đống rơm)

1 quyển sách, sau đó lấy thêm 1 quyển sách nữa. Ta đếm được 2 quyển => 1+1=2

lấy 1 giọt nước,sau đó thêm vào 1 giọt nước .Ta đếm được 1 giọt nước =>1+1=1

Áp dụng Cauchy, ta có
$1+1\geq 2\sqrt{1.1}=2$
Mà 1=1 nên dấu bằng xảy ra => 1+1=2

1 bàn tay+1 bàn tay=10 ngón tay

Đây là 1 CM (sưu tầm)

“Việc chứng minh bắt đầu từ Peano Postulates, với định nghĩa số tự nhiên $N$ . $N$ là tập nhỏ nhất thoả tiên đề:
P1. $1 \in N$
P2. Nếu $x \in N$ , thì số nối tiếp $x'$ cũng thuộc $N$ .
P3. Nếu $x$ khác $1$ , thì có 1 số $y \in N$ mà $y' = x$ .
P4. Nếu $S$ là một tập hợp con của $N$ , $1 \in S$ và $x \in S \Rightarrow x' \in S$
Do đó $S = N$

Khi đó bạn phải chứng minh đệ quy phép cộng:
Định nghĩa 1: cho $a,b \in N$ . Nếu $b = 1$ thì $a + b = a'$ .
(Dùng P1 và P2): nếu $b$ khác 1 thì cho $c' = b , c \in N$ .
(Dùng P4) : và định nghĩa $a +b = (a+c')$ thì phải có định nghĩa 2:

Định nghĩa 2: $2=1'$ .
$2 \in N$ theo P1, P2 và định nghĩa 2
Định lí: $1+1=2$
Sử dụng phần đầu tiên của định nghĩa và với $a = b = 1$ thì $1 + 1 = 1' =2$ (đpcm)

Chú ý: với công thức thay thế lần lượt của Peano Postulates, khi thay 1 bằng 0 vào P1, P3, P4 khi đó phải thay đổi định nghĩa phép cộng thành:
Định nghĩa: cho $a, b \in N$ . Nếu $b =0$ , thì định nghĩa $a +b = a$ . Nếu $b$ khác 0, với $c \in N$ và định nghĩa $a + b =( a+ c)'$
Cũng phải định nghĩa $1 = 0'$ , và $2= 1'$ . Khi đó dẫn chứng cho định lí trên có một sự khác biệt nhỏ:
Chứng minh: dùng phần thứ hai của định nghĩa của phép cộng : $1 + 1 = (1+0)'$
Rồi dùng phần đầu của định nghĩa phép cộng về tổng $1 +1 = (1)' = 2$ (đpcm)