0 lũy thừa 0 (0^0) bằng mấy? – Thầy Đồ – Dạy toán

Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “0⁰ bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 0⁰ = 1! Cũng có bạn cho rằng 0⁰ = 0 (do 0ⁿ = 0).

Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê $0^0$ là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?

Để khẳng định chắc chắn 0⁰ = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau:

$\dfrac{x^b}{x^c} = x^{b-c}$

Nên: $1 = \dfrac{x^b}{x^b} = x^{b-b} = x^0$

Do đó: $0^0 = \dfrac{0^b}{0^b} = 1$

Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: $\dfrac{0^b}{0^b} = \dfrac{0}{0}$ là dạng vô định.

Một số người thì cho rằng đây là quy ước, giống như quy ước: $n^0 = 1; n! = 1$

Một số khác thì chứng minh cụ thể bằng cách khảo sát hàm số: $y=x^x$ và $y = (sinx)^x (x \rm{>} 0)$ . Dựa vào đồ thị của 2 hàm số trên thì rõ ràng: $x^x \underset{\Rightarrow}{x \to 0} 1 ; (sinx)^x \underset{\Rightarrow}{x \to 0} 1$

Ngoài ra, theo định lý khai triển nhị thức ta có: $(1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^kx^n$

Rõ ràng, định lý này không thể đúng trong trường hợp x = 0, ngoại trừ việc chấp nhận $0^0 = 1$ Vì khi đó:

$1^n = C_n^0.0^0 + C_n^1.0^1 + C_n^2.0^2 + ... + C_n^n.0^n$

Hơn nữa, bằng công cụ chuỗi hàm lũy thừa ta có: $\dfrac{1}{1-x} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^n ; e^x = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}$

Hai chuỗi này đều là chuỗi hội tụ nhưng sẽ không còn đúng trong trường hợp x = 0, nếu không công nhận $0^0 = 1$ (vì trong trường hợp x = 0 thì 2 chuỗi số ở vế phải có tổng riêng phần $S_n = 0^0$ , trong khi tổng của chuỗi đều bằng 1).

Do đó, việc đề nghị $0^0 = 1$ là điều hợp lý.

Nhưng theo hướng ngược lại, ta cũng có nhiều dẫn chứng để chứng tỏ $0^0$ phải là dạng vô định.

Thật vậy, nếu $0^0 = 1$ thì:

$\ln{\left( 0^0 \right)} = \ln{1} = 0$

Suy ra: $0.\ln{0} = 0 \Rightarrow 0.(-\infty) = 0$

Như vậy, nếu $0^0 = 1$ thì phải chấp nhận $0.{\infty} = 0$ . Đây là điều không thể vì $0.{\infty}$ là dạng vô định.

Ngoài ra, bằng công cụ L’Hospital – Bernulli, ta có thể khảo sát các giới hạn sau có dạng $0^0$ nhưng có các giá trị khác nhau:

$\lim\limits_{t \to 0+} t^t = 1 ; \lim\limits_{x \to 0+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^t = 0 ; \lim\limits_{x \to 0+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^{-t} = +\infty ; \lim\limits_{x \to 0+} \left( e^{-t} \right)^{at} = e^{-a}$ .

Ngoài ra, nếu sử dụng kiến thức về hàm số nhiều biến cho hàm số $f(x,y) = x^y$ thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi $(x,y) \to (0,0)$ (do giới hạn tiến đến 0 dọc theo đường x = 0 nhưng giới hạn tiến đến 1 dọc theo đường y = 0). Điều đó chứng tỏ $0^0$ là điểm gián đoạn của hàm số $x^y$ .

Do đó, trên quan điểm của giới hạn thì $0^0$ là một dạng vô định.

Vậy $0^0$ là dạng vô định cũng là điều hợp lý.

Điều này giải thích cho việc vì sao có một số giáo trình Toán học xem 0^0 là dạng vô định nhưng giáo trình khác lại định nghĩa 0^0 = 1. Đó là do tùy trường hợp, tùy hoàn cảnh mà ta có sự điều chỉnh cho thích hợp.

Cũng chính vì những lý do trên, bạn sẽ thấy có những khác biệt giữa các phần mềm Toán học. Nếu như Maple và Mathlab định nghĩa $0^0 = 1$ thì Mathematica xem đây là dạng vô định , còn Maxima sẽ báo lỗi.

Như vậy, bài toán 0^0 giúp ta hiểu rằng Toán học không phải lúc nào cũng tuyệt đối mà nhiều lúc ta phải chấp nhận tính tương đối của nó.

——

Bài viết có tham khảo tư liệu từ nguồn: http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/