Tam giác Heron và tứ diện Heron

Lịch sử Toán học / By

Tam giác Heron là tam giác có độ dài các cạnh và có diện tích là các số hữu tỉ.

Tìm một tam giác Heron tương đương với việc giải phương trình Diophantine sau

S2=p(p-a)(p-b)(p-c).
Tập tất cả các tam giác Heron nguyên (nhân ba cạnh và diện tích với bội chung nhỏ nhất của chúng) được tìm ra bởi Euler và dạng tham số của chúng được đưa ra bởi Brahmagupta và Carmichael (1952) như sau:

a=n(m²+k²)
b=m(n²+k²)
c=(m+n)(mn-k²)
Nửa chu vi p=mn(m+n)
Diện tích S=kmn(m+n)(mn-k²)

trong đó m, n, k thỏa mãn

  • BCNN(m,n,k)=1
  • mn>k²≥m²n/(2m+n)
  • m≥n≥1.

Một số tam giác Heron đầu tiên với độ dài các cạnh (a, b, c) là (3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16).

Năm 1905, Schubert (1905) cho rằng các tam giác Heron với hai đường trung tuyến có độ dài hữu tỉ không tồn tại. Tuy nhiên Buchholz và Rathbun (1997) đã đưa ra các phản thí dụ chẳng hạn tam giác (73, 51, 26)

Tứ diện Heron là tứ diện có độ dài các cạnh, diện tích các mặt bên và thể tích là các số hữu tỉ. Rõ ràng các mặt của tứ diện Heron là các tam giác Heron.


Tứ diện với độ dài các cạnh là 51, 52, 53, 80, 84, 117; với các mặt (117, 80, 53), (117, 84, 51), (80, 84, 52), (53, 51, 52); diện tích các mặt 1170, 1800, 1890, 2016; và thể tích bằng 18144 là một tứ diện Heron.

(Theo vnmath.com)