Tam giác đều của Morley – Thầy Đồ – Dạy toán

(THEO thichhoctoan.ORG)

Giao điểm các đường chia ba các góc của một tam giác bất kỳ, tạo thành một tam giác đều.

Định lý Morley có thể chứng minh hoàn toàn bằng phương pháp sơ cấp, nhưng khá rắc rối và dùng tính toán lượng giác. Dùng lượng giác thực ra là dùng số phức được ngụy trang vì công thức cơ bản của lượng giác $cos(x+y)=cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)$ là hệ quả của công thức nhân hai số phức trên đường tròn đơn vị.

Anh Alain Connes có đưa ra chứng minh định lý Morley bằng phương pháp thuần túy lý thuyết nhóm. Bần đạo xin tóm tắt lại chứng minh của anh Alain cho bạn tiện theo dõi.

Trước hết ta có tam giác đều cơ bản có đỉnh là $1,j,j^2$ . Ở đây $j=cos(2\pi/3) + i sin(2\pi/3)$ là căn bậc ba của đơn vị, nghiệm của đa thức xích lô $1+j+j^2=0$ .

Nhận xét : ba điểm $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb C$ là đỉnh của một tam giác đều, quay theo chiều kim đồng hồ, khi và chỉ khi $\alpha+j\beta+j^2\gamma=0$ . Thật vậy, thế $j^2=-(1+j)$ vào, ta có $(\alpha-\gamma)+j(\beta-\gamma)=0$ .

Ký hiệu $f$ là phép quay có tâm là đỉnh $A$ với góc quay là $2a$ , nếu ta ký hiệu $3a$ là góc của tam giác tại $A$ theo chiều ngược kim đồng hồ. Tương tự như vậy, ký hiệu $g$ là phép quay tâm $B$ góc quay $2b$ và $h$ là phép quay tâm $C$ góc quay $2c$ .

Nhận xét $f^3$ là phép quay tâm $A$ với góc quay $6a$ có thể phân tích thành tích của hai phép lật $f^3=s_{CA} s_{AB}$ , với $s_{CA}$ là phép lật qua trục $CA$ và $s_{AB}$ là phép lật qua trục $AB$ . Tương tự như vậy $g^3= s_{AB} s_{BC}$ và $h^3=s_{BC} s_{CA}$ . Từ đó ta có $f^3 g^3 h^3=1$ .

Trong hình vẽ, giao điểm $\alpha,\beta,\gamma$ của các đường chia ba góc là điểm bất động của $fg,gh,hf$ .

Mệnh đề sau đây dùng ký hiệu xác lập trong bài trước :

Cho $f,g,h \in Aff$ ba phần tử của nhóm các biến đổi a phìn, thỏa mãn $a(fgh)=j$ và $f^3 g^3 h^3=1$ . Giả sử $fg,gh,hf$ không là phép tịnh tiến và ký hiệu $\alpha,\beta,\gamma$ là các điểm bất động của chúng. Khi đó ta có $\alpha + j\beta +j^2 \gamma=0$ .

Bạn nên thử tự mình chứng minh mệnh đề trên để làm quen với nhóm $Aff$ . Bí quá thì nhòm vào bài báo của anh Alain ở đây.