Sự đặc biệt của hàm số 1/r – Thầy Đồ – Dạy toán

Một trong những hàm đặc biệt nhất của toán học trong không gian 3 chiều (không gian mà chúng ta đang sống trong đó) là hàm số $1/r$ , có nghĩa là hàm “1 chia cho khoảng cách”. Chữ $r$ ở đây có thể hiểu là “radius”, có nghĩa là bán kính, tính từ một tâm điểm nào đó, hay nói rộng hơn, là khoảng cách giữa hai điểm khác nhau.

Hàm $1/r$ đặc biệt ở chỗ nào ?

Thứ nhất, nó là hàm thế năng trong định luật vạn vật hấp dẫn của Newton: định luật này nói rằng, hai vật có khối lượng $m_1,m_2$ và cách nhau một khoảng cách $r$ thì sẽ có lực hút nhau (tác động lên mỗi vật, theo hướng về vật kia) bằng

$F = G \frac{m_1m_2}{r^2}$ trong đó $G$ là hằng số hấp dẫn. Theo lý thuyết cơ học Hamilton, lực này được sinh ra chính bởi một năng lượng, gọi là thế năng, bằng

$U = - G \frac{m_1m_2}{r}$ Như vậy, hàm thế năng trong định luật của Newton (là định luật “khiến cho” trái đất quay quanh mặt trời và mặt trăng quay quanh trái đất) tỷ lệ thuận với các khối lợng của vật, và với hàm $1/r$ . (Nếu như ta coi mỗi vật đều có khối lượng bằng 1 đơn vị, và hằng số hấp dẫn cũng bằng 1 đơn vị, thì hàm thế năng chính bằng $1/r$ ).

Thế nhưng, tại sao Tạo Hóa lại chọn hàm $1/r$ là hàm thế năng cho lực hấp dẫn, mà không phải một hàm khác ? Điều này quả là kỳ bí. Nếu giả sử, có một thế giới khác, mà trong đó hàm thế năng này không phải là $1/r$ , mà là $1/r^{3/2}$ chẳng hạn, thì “trái đất” trong thế giới đó vẫn cứ quanh quanh mặt trời trong thế giới đó, chứ chẳng phải vì thế mà nó đâm vào mặt trời hay bắn ra ngoài !

Tôi không biết vì sao Tạo Hóa lại chọn như vậy, nhưng thử đưa ra đấy một lý thuyết: hàm $1/r$ được “chọn” làm hàm thế năng cho lực hấp dẫn, bởi vì nó là một nghệm của phương trình sau:

$\Delta u := u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0$ trong đó $u = 1/r = 1/\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ , còn $u_{xx}$ có nghĩa là đạo hàm hai lần của $u$ theo $x$ .

Toán tử $\Delta$ được gọi là toán tử Laplace, phương trình trên được gọi là phương trình Laplace, còn các nghiệm của nó được gọi là các hàm điều hòa (harmonic).

Chú ý là hàm $1/r$ có kỳ dị tại điểm 0: nó tiến tới vô cùng khi bán kính $r$ tiến tới 0. Bởi vậy nó chỉ thỏa mãn phương trình $\Delta u = 0$ ỏ ngoài điểm 0, còn nếu tính cả điểm 0, thì ta được công thưc chính xác hơn như sau:

$\Delta (1/r) = - 4 \pi \delta(x,y,z)$ trong đó $\delta(x,y,z)$ là hàm Dirac. Hàm Dirac không phải một hàm số theo nghĩa thông thường, mà là một hàm số theo nghĩa hàm suy rộng (hay là theo nghĩa phân bố của Laurent Schwartz): hình dung là nó có tích phân (hay độ đo) bằng 1, nhưng chỉ tập trung tại mỗi một điểm là điểm 0, và bằng 0 tại mọi điểm khác. Vì tính chất này, nên hàm $1/r$ , hay nói chính xác hơn, là hàm $1 / (4\pi r)$ , được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trong không gian 3 chiều.

Hình dung là ta có một nguồn nhiệt (heat source) duy nhất tại điểm 0 (trong một không gian vô hạn, thuần nhất, bất động) với “cường độ” bằng $4\pi$ , và giả sử nhiệt độ tại tất cả các điểm khác đã ổn định không tăng lên thêm mà cũng không giảm đi . Khi đó nhiệt độ tại mỗi điểm chính bằng $1/r$ , trong đó $r$ là khoảng cách từ nguồn nhiệt. Điều đó là bởi vì, phương trình truyền nhiệt (đã chẩn hóa) chính là phương trình

$u_t = \Delta u$ trong đó $u$ là hàm nhiệt độ và $t$ là biến thời gian. Nếu ta coi là nhiệt độ không đổi theo thời gian (trạng thái “steady”) thì ta được phương trình Laplace.

Để giải phương trình Laplace tổng quát hơn (không thuần nhất):

$\Delta u = f$ trong đó $f$ là một hàm bất kỳ trong không gian, ta chỉ cần lấy các nghiệm cơ bản của nó (mỗi nghiệm một cho điểm trong không gian được tính làm điểm nguồn), nhân với hàm $f$ rồi lấy tích phân (trên không gian các điểm nguồn, tức là cũng chính là không gian ${\mathbb R}^3$ của chúng ta):

$u(\bold{x}) = - \frac{1}{4 \pi} \int_{{\mathbb R}^3} \frac{ f (\bold{y} )}{| \bold{y} - \bold{x}| } d\bold{y}$ Công thức trên cũng là công thức cho phép chúng ta tính áp suất của một chất lỏng “incompressible” khi biết trờng vận tốc của nó và lực bên ngoài tác động lên nó (để đơn giản, ta giả sử là chất lỏng có thể tích vô hạn). Để tính áp suất, ta có thể dùng phương trình Navier-Stokes incompressible:

$\partial v / \partial t + v. \nabla v = - \nabla p + \Delta v + X$ trong đó $v$ là trường vận tốc thỏa mãn $div(v) = 0$ , $X= (X_1,X_2,X_3)$ là lực tác động từ bên ngoài, và $p$ là áp suất. Lấy divergence của phương trình Navier-Stokes phía trên, ta được phương trình Laplace cho $p$ :

$\Delta p = f := div (X - v. \nabla v )$ và từ đó suy ra $p$ theo công thức phía trên.

Vì các lý do tương tự như trên, mà chúng ta thấy hàm $1/r$ trong rất nhiều công thức toán lý.

Quay trở lại chuyện lực hấp dẫn. Nếu ta hình hung “trường hấp dẫn” cũng tương tự như là “trường nhiệt độ”, và các vật thể sinh ra các trường hấp dẫn tương tự như là các nguồn nhiệt sinh ra các trường nhiệt độ, với tính chất “điều hòa”, thì điều này có thể lý giải tại sao hàm thế năng hấp dẫn phải là hàm $1/r$ ?

Các nhà vật lý hiện tại vẫn đang đau đầu về chuyện làm sao kết hợp lực hấp dẫn (hay thế năng hấp dẫn) vào cùng với các lực khác (điện từ, mạnh, yếu …) thành chung một “lý thuyết thống nhất”. Không biết điều này có liên quan gì đến sự đặc biệt của hàm $1/r$ không ?!

(Theo http://zung.zetamu.com)