Bài biên dịch sau đây nhằm mục đích giới thiệu cụm các bài viết [1],[2],[3] về mối liên quan giữa lý thuyết trường chuẩn (gauge theory) và đối ngẫu điện-từ trong vật lý với chương trình hình học Langlands. Nhiều chi tiết toán học quá chuyên sâu đều được bỏ qua chỉ giữ lại những phần thật cần thiết cho vật lý. Xin bạn đọc hãy tìm đến các tài liệu gốc ghi ở cuối bài này để bổ sung những điều cần thiết. Sự quan tâm của bạn đọc đến vấn đề này có thể tăng lên nhất là sau khi Ngô Bảo Châu chứng minh thành công Bổ đề cơ bản.
Có thể nói đây là hướng nghiên cứu mà toán học xâm nhập một cách sâu sắc vào vật lý đưa vật lý đến một đỉnh cao mới. Song ngược lại chúng ta cũng có thể thấy rằng vật lý đã cung cấp một số đoán nhận về ý nghĩa của chương trình Langlands và thế giới khách quan vật lý lại có mối liên quan kỳ diệu với các giả thuyết toán học trong chương trình Langlands.
Những kiến thức cần thiết
Những kiến thức cơ bản mà bạn đọc cần có để định hướng được trong khi tìm hiểu mối liên quan giữa vật lý và chương trình hình học Langlands là:
– đại số (trường, phạm trù, lý thuyết nhóm…),
– hình học đại số (không gian phân thớ, không gian moduli,…),
– lý thuyết trường chuẩn (lý thuyết Yang-Mills, liên thông,..).
Nhập đề
Năm 1960 Robert Langlands đưa ra chương trình Langlands với tham vọng nối liền Lý thuyết số và Giải tích điều hòa (Harmonic Analysis). Langlands đưa ra giả thuyết (conjecture) các biểu diễn Galois có thể mô tả bằng các biểu diễn tự đẳng cấu. Một giả thuyết quan trọng là giả thuyết Shimura-Taniyama – Weil (cần cho định lý Fermat lớn mà A.Wiles và các người khác đã chứng minh) phát biểu rằng thông tin về các biểu diễn Galois gắn liền với các đường cong elliptic trên Q (trường các số hữu tỷ) đều mã hóa trong khai triển Fourier của những dạng modular (modular forms) trên nửa mặt phẳng trên[1].
Một yếu tố quan trọng là nhóm đối ngẫu Langlands LG. Trong tương ứng Langlands (Langlands correspondence), các biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm G sẽ ứng với các biểu diễn Galois với trị số trong LG.
Một điều đáng ngạc nhiên là nhóm đối ngẫu Langlands cũng xuất hiện trong Vật lý lượng tử cụ thể là đối ngẫu điện-từ. Khi xét các phương trình Maxwell người ta dễ dàng nhận thấy rằng các phương trình này bất biến đối với phép thay thế giữa điện trường và từ trường. Trong lý thuyết lượng tử một tham số quan trọng là điện tích e. Các nhà vật lý cho rằng đối ngẫu điện từ được thực hiện bằng phép e → 1/e. Dưới đối ngẫu này hạt mang điện tích sẽ thay chỗ bởi hạt mang từ tích, tức đơn cực từ Dirac.
Trong ngôn ngữ hiện đại lý thuyết Maxwell là một ví dụ của lý thuyết trường chuẩn (gauge theory) Yang-Mills 4D, được định nghĩa (cổ điển) trong không gian các liên thông của phân thớ Gc trên đa tạp bốn chiều trong đó Gc là nhóm Lie compact. Điện-từ ứng với nhóm abelian U(1).
Điều dĩ nhiên là sự xuất hiện câu hỏi: liệu có tồn tại đối ngẫu (như trong điện-từ) đối với các lý thuyết với nhóm không Abelian?
Năm 1970 tiếp theo sau Goddard, Nuyts & Olive (viết tắt là GNO), Montonen & Olive (viết tắt là MO) đã đưa ra câu trả lời rằng có một đối ngẫu như thế và đối ngẫu đó gọi là đối ngẫu S.
GNO đã chỉ ra rằng trong các lý thuyết chuẩn, điện tích lấy các trị số trên mạng trọng số (weight lattice) của nhóm chuẩn G trong khi từ tích lại lấy các trị số trên mạng căn số (root lattice). GNO cũng chứng minh rằng đối với mọi nhóm Lie đơn giản đều tồn tại một nhóm “đối ngẫu” gọi là nhóm đối ngẫu GNO hoặc Langlands và ghi là LG, mạng của hai nhóm này đổi chỗ cho nhau.
Sau đó MO còn đi xa hơn và đưa ra ý tưởng là trong một số lý thuyết chuẩn tồn tại đối ngẫu điện-từ chuyển ngược hằng số tương tác chuẩn và đồng thời thay G bằng LG.
Hiện nay chúng ta được biết rằng đối ngẫu MO được thực hiện trong các lý thuyết chuẩn siêu đối xứng N=4.
Nếu điều này là đúng thì đây là một hệ quả vô cùng quan trọng đối với lý thuyết chuẩn lượng tử vì rằng nó nối liền một lý thuyết có hằng số tương tác nhỏ với một lý thuyết chuẩn có hằng số tương tác lớn. Lý thuyết chuẩn lượng tử thường sử dụng phép phân tích thành dãy theo hằng số tương tác, dãy chỉ hội tụ nếu hằng số tương tác là nhỏ. Đối ngẫu S chỉ tỏ rằng tồn tại một lý thuyết trong dạng không nhiễu loạn. Đây quả là cái chén thánh (holy grail) cho Lý thuyết lượng tử.
Một câu hỏi quan trọng: đối ngẫu Langlands trong toán học liệu có gắn liền với đối ngẫu S trong vật lý lượng tử?
Câu hỏi này trước đây là một điều bí ẩn.
Tháng 3 năm 2004 trong một hội thảo tại Advanced Study ở Princeton, Edward Witten (Fields 1990) đã phác thảo mối liên quan giữa hai lĩnh vực này. Sau đó các bài báo của Edward Witten và Anton Kapustin[2],[3] đã xây dựng một cái cầu vững chắc giữa hai lĩnh vực quan trọng đó, mở đường cho nhiều nghiên cứu quan trọng.
 Edward Witten nhà vật lý (duy nhất hiện nay) giải Fields năm 1990 |
Tương ứng (correspondence) hình học Langlands
Chương trình Langlands có nhiều phiên bản: phiên bản lý thuyết số, phiên bản trên các trường hàm và phiên bản hình học[1].
Phiên bản hình học thích hợp nhất cho vật lý học.
a/ Gọi E là phân thớ chính LG trên X. Một liên thông phẳng trên E có hai thành phần. Thành phần (0,1) đối với cấu trúc phức trên X, xác định cấu trúc chỉnh hình (holomorphism) trên E, còn thành phần (1,0) xác định chỉnh hình liên thông ▼. Như thế một phân thớ LG với một liên thông phẳng trên X đúng là cặp (E, ▼) trong đó E là một phân thớ LG chỉnh hình đồng cấu trên X và ▼ là một liên thông chỉnh hình trên E.
Như vậy các đối tượng ở một vế bên này của tương ứng Langlands là những lớp tương đương của phân thớ LG phẳng (E, ▼ ).
b/ Thế còn ở vế bên kia thì sao? đối tượng hình học nào sẽ thay thế các biểu diễn tự đẳng cấu?
Tồn tại một bó moduli đại số (algebraic moduli sheaf) với ký hiệu là BunG. Đối tượng hình học ta đang tìm là những bó trên BunG thỏa mãn điều kiện Hecke (Hecke là toán tử trong lý thuyết các dạng modular), ta gọi các bó đó là các bó riêng (eigensheaves) Hecke.
Nói chính xác hơn các bó đó là những D-module trên BunG. (D-module là module của bó các toán tử vi phân).
Gọi ε = (E, ▼) là một phân thớ LG phẳng trên X. Một D-module F trên BunG sẽ được gọi là bó riêng Hecke với trị riêng ε.
Ta sẽ có tương ứng (correspondence) hình học Langlands sau:
Phân thớ LG phẳng trên X → Bó riêng Hecke trên BunG
ε → Fε
Điều quan trọng là cấu trúc trên có mối liên quan đến lý thuyết trường lượng tử.
Phát biểu phạm trù của tương ứng hình học Langlands
Hãy nhìn vào tương ứng trên ta thấy có một bất đối xứng giữa hai vế. Bên trái ta có phân thớ LG phẳng, đó là những điểm của hệ định xứ LocLG của phân thớ LG phẳng trên X.
Còn bên phải ta có các bó riêng (eigensheaves) Hecke, vốn là những đối tượng của một phạm trù, cụ thể phạm trù các D- module trên BunG.
Để làm hai vế đối xứng ta thay một điểm ε є LocLG bởi một đối tượng của một phạm trù khác cụ thể là bó O ε tại ε được xem như một đối tượng của phạm trù các O – modules trên LocLG.
Như vậy một phát biểu mạnh hơn của tương ứng hình học Langlands là phát biểu phạm trù sau:
Phạm trù của O-module trên LocLG↔Phạm trù của D-module trên BunG
Lý thuyết trường chuẩn và đối ngẫu điện-từ trong vật lý
Chúng ta bắt đầu với lý thuyết Yang-Mills (lý thuyết trường chuẩn) 4D trên một đa tạp Riemann bốn chiều M4. Gọi Gc là nhóm Lie compact.
Cần mở rộng siêu đối xứng N=4 của mô hình. Điều này có nghĩa cộng vào các trường fermion và bosonic sao cho tác động của nhóm Lorentz được mở rộng thành tác động của nhóm siêu đối xứng.
Một gợi ý quan trọng của David Ben-Zvi là tồn tại mối liên quan giữa chương trình hình học Langlands với quá trình compact hóa siêu đối xứng Yang-Mills N=4 từ 4 chiều xuống 2 chiều trên mặt Riemann Σ.
Kapustin và Witten [2], [3] giả định rằng đa tạp bốn chiều M4 có dạng M4 = Σx X.
Trong đó Σ là mặt Riemann có biên. Lấy X nhỏ ta có lý thuyết compắc hóa. Trong trường hợp đó lý thuyết sẽ mô tả bởi một lý thuyết trường hai chiều trên Σ. Lý thuyết này được đồng nhất với mô hình sigma trên Σ với đa tạp bia (target manifold) MH(G) là không gian moduli HITCHIN của phân thớ G trên X, vì rằng các phương trình trường trên Σ sẽ tương đương với các phương trình Hitchin [2].
Đối ngẫu S trong lý thuyết siêu chuẩn trên Σx X sẽ trở thành Đối xứng gương giữa các mô hình sigma với bia là MH (G) và MH (LG).
Bây giờ ta xét các điều kiện biên, điều này sẽ dẫn đến các màng (brane) trong những mô hình sigma đó.
Đối ngẫu S thiết lập sự tương đương giữa các phạm trù màng cho MH (G) và MH (LG). Kapustin và Witten nối liền sự tương đương đó với tương ứng phạm trù hình học Langlands.
Như thế hai tác giả trên đã thiết lập một đường nối giữa đối ngẫu S với đối ngẫu hình học Langlands.
Các thớ (fibrations) đối ngẫu Hitchin
Người ta thu được hai thớ trên cùng một cơ sở (base) B
Ứng với mỗi b є B hai thớ Hitchin là hai hình xuyến LFb và Fb. Hai thớ đó đối ngẫu với nhau. Đối ngẫu của hai hình xuyến là ví dụ của Đối xứng gương, đó là đối ngẫu T.
Có thể chứng minh rằng đối ngẫu Montonen-Olive trong lý thuyết chuẩn tương ứng với đối ngẫu T trong không gian moduli Hitchin.
Đây là một ví dụ của trường hợp tổng quát hơn (Strominger,Yau và Zaslow): đối xứng gương giữa hai đa tạp Calabi-Yau X và Y phải được thực hiện như đối ngẫu T.
Trong ý nghĩa đó đối ngẫu S quy về đối ngẫu T.
Chương trình hình học Langlands nhằm xây dựng các toán tử có khả năng chuyển màng này thành màng kia.
Bây giờ ta xét đến màng riêng (eigenbrane) ứng với bó riêng (eigensheaf) trong chương trình hình học Langlands.
Hãy ký hiệu TR’ và WR là các toán tử ‘t Hooft và Wilson[3] đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết trường, trong đó R là biểu diễn của G còn R’ là biểu diễn của LG. Các toán tử này sẽ chuyển màng này thành màng kia. Các toán tử ‘t Hooft tương ứng với các toán tử Hecke trong chương trình hình học Langlands.
Màng riêng của toán tử WR là màng B thỏa mãn phương trình WR B=B. Màng riêng điện (electric eigenbrane) chính là màng zero trong không gian moduli Hitchin MH. Mục tiêu của chương trình hình học Langlands ứng dụng trong vật lý là xây dựng màng riêng từ (magnetic eigenbrane). Đối ngẫu của màng riêng điện sẽ là màng riêng từ. Chúng ta xây màng riêng từ bằng cách thực hiện đối ngẫu T trong các thớ của MH. Theo phép đối ngẫu T thì đối ngẫu của màng zero sẽ là một màng bao quanh trên một thớ của phân thớ Hitchin. Màng zero là một màng riêng điện như thế màng bọc quanh một thớ của các thớ của MH sẽ là màng riêng từ.
Các toán tử ‘t Hooft có thể chứng minh là các toán tử Hecke trong chương trình hình học Langlands. Các bó riêng (eigensheaves) Hecke là những D–module.
Đối với lý thuyết siêu chuẩn Yang-Mills người ta cũng chứng minh dược rằng đối ngẫu S sẽ hoán vị toán tử t’Hooft (ứng với Hecke trong Langlands) với toán tử Wilson.
Kết luận
Cuối cùng hãy tóm tắt lý thuyết trường lượng tử liên quan đến chương trình hình học Langlands như thế nào? Trong phép tương ứng chuẩn của hình học Langlands thì những phân thớ phẳng trong mặt hai chiều của chúng ta Σ là tương ứng một-một với những D–module trong không gian moduli M của những phân thớ G chỉnh hình (holomorphic). Một phân thớ (bundle) trên Σ sẽ cho ta một điểm trong MH, ứng với màng riêng điện. Đối ngẫu S của nó sẽ là một màng riêng từ và những màng riêng từ thực tế cho ta các D–module.
Như vậy ý nghĩa của tương ứng trong hình học Langlands có thể nói đó là đối ngẫu điện-từ suy rộng của lý thuyết trường chuẩn trong vật lý.
Đây là một kết quả hết sức ấn tượng về mối liên quan giữa một lý thuyết hiện đại trong vật lý là lý thuyết trường chuẩn (với đối ngẫu điện-từ) và một chương trình thống nhất lớn trong toán học là chương trình Langlands.
Cao Chi biên dịch và chú thích
Tài liệu gốc:
[1] Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality, Seminaire Bourbaki, 6/2009, arXiv:hep-th/0512172
[2] Edward Witten, Gauge theory and the Geometric Langlands Program,Workshop in Mathematics and Physics SUNY at Stony Brook, July 25 – August 26, 2005
[3] Anton Kapustin, Lectures on Electric-Magnetic Duality and the Geometric Langlands Program,January 1, 2008, arXiv:hep-th/0604151
Các chú thích
A/ Không gian phân thớ (chính) được ký hiệu là E=(M,F,G, p, ø) trong đó M là không thời gian hay nói chung là không gian cơ sở, F là thớ, G là nhóm biến đổi chuẩn, p là ánh xạ: EM thế nào cho:
1/đối với mỗi x є M thì tập các yếu tố p-1(x) = Fx đồng phôi với F
2/ đối với mỗi x є M có vùng lân cận U và phép đồng phôi φ є ø mà φ: Ux G→p -1(U) thỏa mãn điều kiện p (φ(x’,y) ) = x’, x’ є U, y є F.
B/ Không gian moduli: ví dụ một đĩa có N lỗ trống cần 1 tham số để xác định bán kính và thêm 2 tham số nữa để xác định tọa độ tâm của mỗi lỗ trống, như vậy cần 3N tham số cho N lỗ trống. Nói chung không gian moduli là tập các tham số dùng xác định các chi tiết hình học của không gian đó.
Nhờ các biến đổi conform người ta có thể thu được độ cong bằng constant, như vậy không gian M ta quan tâm đến là không gian với độ cong constant chia cho tập các vi phôi trên M:
Không gian moduli = Mconst / Diff(M). (Theo tiasang)