Lũy thừa – Thầy Đồ – Dạy toán

Trong toán học, lũy thừa là một phép toán thực hiện trên hai số a, b, ký hiệu là a^b, đọc là lũy thừa bậc b của a, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.

Trong trường hợp n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^n = \underbrace{a \times a \cdots \times a}_n$

Khi đó phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa (từ Hán-Việt: 累乘) có nghĩa là “nhân chồng chất lên”.

Đặc biệt: a² còn gọi là “a bình phương”; a³ còn gọi là “a lập phương”.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương

Các tinh chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

$a^{m + n} = a^m \cdot a^n$

$a^{m - n} =\frac{a^m}{a^n}$ với mọi a#0

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán (chẳng hạn, 2+3 = 5 = 3+2 và 2·3 = 6 = 3·2), phép tính lũy thừa không có tính giao hoán: 2³ = 8, nhưng 3² = 9.

Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp (chẳng hạn, (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) và (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4), còn phép tính lũy thừa thì không: 2³ lũy thừa 4 là 8⁴ hay 4096, nhưng 2 nâng lũy thừa 3⁴ là 2⁸¹ hay 2.417.851.639.229.258.349.412.352. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}.$

Lũy thừa với số mũ không

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không đựoc quy ước bằng 1. Khi đó ta có

$1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0$

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Để mở rộng khái niệm lũy thừa cho các số mũ nghuyên âm, ta định nghĩa, lũy thừa của số khác không a với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó:

$a^{-1} = \frac{1}{a}.$

còn lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m =-n trong đó a khác không và n là số nguyên dương là

$a^m = a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .

Ví dụ

$3^{-4} = \frac{1}{3^4}= \frac{1}{3.3.3.3} =\frac{1}{81}$ .

Lũy thừa của không và một

Với mọi số nguyên dương m

$0^m = 0\,$ .

$1^m = 1\,$ .

Lũy thừa của số thực dương với số mũ thực

Căn bậc n của một số thực dương

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xⁿ = a.

Nếu a là số thực dương và n là số nguyên dương, thì có đúng một số thực dương x sao cho xⁿ = a. Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là ⁿ√a, trong đó √ là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n ( m , n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là

$a^{m/n} = \left(a^m\right)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$

định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa của số e

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

$e =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac 1 n \right)^n .$

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

$e^x =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac x n \right)^n ,$

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

$e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y} .$

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là e^k như sau:

$(e)^k = \left(\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k}$

$= \lim_{n \cdot k \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} = \lim_{m \rightarrow \infty} \left(1+\frac k m \right)^m = e^k .$

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng e^x+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thực

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn

$b^x = \lim_{r \to x} b^r,$

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

$x \approx 1.732$

thì

$5^x \approx 5^{1.732} =5^{433/250}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241 .$

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên ln(x) là hàm ngược của hàm e-mũ e^x. Theo đó lnx là số b sao cho x = e ^b .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ^ln a , nên nếu a^x được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có

$a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \cdot\ln a}.\,$

Điều này dẫn tới định nghĩa

$a^x = e^{x\cdot\ln a}\,$

với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây. ^[2]

Lũy thừa với số mũ phức

Lũy thừa số mũ phức của số e

Dựa vào biểu diiễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau. Trươc hết, lũyy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

$e^{ix} = \cos x + i\cdot \sin x$