Lịch sử hình học

Thalès

Định lý Thalès (thế kỷ VII-VI trước CN)

Trước Thales mỗi nhân viên đo đạc hoặc nhà hình học đều phải tìm những “kỹ xảo” để đo các khoảng cách, các bề mặt v.v… Nhà triết học và toán học Hy lạp thuộc trường phái Ioni là Thalès de Milet (thế kỷ VII-VI) đã có ý tưởng tài tình đo các chiều cao nhờ dùng bóng vào lúc mà “bóng dài bằng với vật”, nghĩa là vào lúc các tia nắng chiếu xuyên một góc 45 độ. Để đo chiều cao của Kim tự tháp ông đã cải tiến phương pháp của mình bằng cách sử dụng các tia nắng ở bất kỳ lúc nào. Và ông đã có thể dừng lại ở đó, song toàn bộ giá trị công việc của ông là muốn xuất phát từ thực nghiệm để xây dựng nên một lý thuyết: việc sử dụng các tia sáng mặt trời đã cho phép ông nghiên cứu các đường thẳng song song và mối liên hệ giữa độ dài hình chiếu và độ dài ban đầu. Rồi ông đã phát biểu một định lý mà từ đó được gọi là Định lý Thalès: “Các đường thẳng song song chiếu những đoạn dài tỷ lệ từ đường thẳng này lên đường thẳng khác”. Như vậy là ông đã rút ra hình học từ cuốn sổ ghi chép các kỹ thuật bằng cách đưa vào đó quan điểm suy diễn và chứng minh của toán học.

Định lý Pythagore (thế kỷ VI trước CN)

Pythagore

Xuất phát từ các công trình của Thales về các đường thẳng song song và cũng với tinh thần chứng minh, Pythagore, nhà triết học và toán học Hy Lạp ở thế kỷ VI trước CN đã quan tâm đến hình chiếu vuông góc và đã chứng minh được định lý mang tên ông. Định lý đó thiết lập được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác vuông. Mối quan hệ đó đã được biết đến từ thời có các nhân viên đo đạc ruộng đất, song chính Pythagore là người đầu tiên đã chứng minh được nó.

Tiên đề Euclide (thế kỷ III trước CN)

Nhà toán học Hy Lạp là Euclide (thế kỷ III trước CN) chủ yếu đã tổng hợp các công trình của người đi trước trong tác phẩm “Nguyên lý” ông đã hệ thống các kiến thức của thời đại mình, đồng thời chứng minh lại toàn bộ xuất phát từ năm tiên đề được coi như đúng dù rằng không được chứng minh. Tiên đề cơ bản và quen thuộc nhất là: “Qua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ có thể kẻ một đường thẳng song song với đường thẳng đó”. Điều trái ngược với tiên đề này đã được Aristotle xem xét trong tác phẩm “Những phép phân tích khác”, song với một quan điểm hoàn toàn mang tính chất giáo huấn.

Euclide

Cho đến thế kỷ XIX, các nhà toán học vẫn nghĩ rằng có thể chứng minh được tiên đề đó. Bởi vậy ở thế kỷ thứ XVIII nhiều nhà toán học đã uổng công thử chứng minh nó bằng phản chứng; đã xuất hiện hai điều phủ định khả dĩ: “Tồn tại ít nhất một điểm qua đó không có một đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho đi qua” và “Tồn tại ít nhất một điểm qua đó ít nhất có hai đường thẳng song song khác nhau đi qua”. Việc giải thích rõ ràng hai điều ngược lại đó đã làm nảy sing hai loại hình học mới ở thế kỷ sau đó.

Lượng giác (thế kỷ III-II trước CN)

Ptolémée

Trong thời Cổ Đại, lượng giác đã phát triển như một kỹ thuật phụ của thiên văn học, vậy nên chính những nhà thiên văn Hy Lạp Asistarque de Samos (thế kỷ III trước CN) và Hipparque de Nicée (thế kỷ II trước CN) là những nhà lượng giác học tiên phong. Người Hy Lạp ở thành Alexandria là C. Ptolémée (khoảng 80-160 sau CN) đã tập hợp tất cả các tri thức của thời đó trong khảo luận gọi là “Sách thiên văn” (Almageste) của mình.

Chính nhờ người Arập ở thế kỷ IX mà lượng giác đã phát triển thành một bộ môn khoa học tách riêng hoàn toàn. Al Khwârizmi (780-850) đã lập được các bảng số sin đầu tiên, Habasch và Al Hasib đã lập được các bảng tang. Sách Thiên văn Hoàn thiện (Perfectionnement de l’Almageste) của Al Bâttâmi (877-925) là một công trình thực sự về lượng giác hiện đại, hoàn hảo hơn nhiều so với Sách thiên văn của Ptolémée. Những công trình đó được những nhà toán học Đức J. Muller (1436-1476) và G. Rhaeticus (1514-1576) sửa lại và phát triển. A. de Moivre (1667-1754) và L. Euler (1707-1783) đã gắn mỗi số phức tương ứng với một tia và một góc; bởi vậy cho phép khảo sát lượng giác nhờ hàm phức; nhờ thế chính lượng giác biến thành một lý thuyết đại số.

Mặt cônic (thế kỷ III trước CN)

Các mặt cônic đã được nghiên cứu theo những cách rất khác nhau qua các thời đại, chính điều đó cho thấy roc hình học đã tiến triển từ thời cổ đại đến thời chúng ta như thế nào. Trong khảo luận của mình về các tiết diện cônic, A. de Perga (khoảng 262-130 trước CN) đã nghiên cứu những mặt cắt khác nhau của một hình nón. Khi đó ông đã chứng minh rằng có thể thu được các hình Parabol, Hypecbol và Elip.

Descartes

Vào thế kỷ thứ XVII, Descartes đã thể hiện các mặt cônic dưới dạng các phương trình và chỉ ra rằng có thể thu được các mặt cônic từ các phương trình bậc hai.

B. Pascal (1623-1662) đã tạo nên quan niệm hiện đại bằng cách tiếp cận mặt cônic theo quan điểm giải tích. Ở thế kỷ XX, các mặt cônic là một phần của lý thuyết tổng quát hơn về các dạng toàn phương.

Tọa độ (thế kỷ XVII)

Việc sử dụng các số để xác định một cách đơn tính vị trí của một điểm trên một bề mặt đã được biết đến từ thời Archimede (thế kỷ III trước CN). Nhưng mãi tới thế kỷ XVII thì tọa độ mới được sử dụng một cách có hệ thống đối với các bài toán hình học. Có truyền thuyết rằng nhà triết học và toán học người Pháp R. Descartes (1596-1650) đã nảy ra ý tưởng về tọa độ khi ông nhìn thấy một con côn trùng bay trước những ô kính cửa sổ của mình. Khám phá đó đã cho phép khảo sát các bài toán hình học theo phương pháp đại số; rồi nhờ có nhà toán học Pháp P. de Fermat (1601-1665) mà bắt đầu xuất hiện hình học giải tích trong đó các phương trình và đường cong có liên quan với nhau.

Vectơ (1798)

Nhà hình học Đan Mạch C. Wessel, năm 1798 và J. R. Argand, năm 1806 đã viết hai báo cáo về các số phức. Cả hai người đều có ý tưởng không chỉ biểu diễn các số phức thông qua một điểm A trên mặt phẳng mà còn đồng nhất chúng với vectơ gốc ở O và điểm mút A trong một hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng. Vậy là nảy sinh khái niệm vectơ, như vậy tìm tổng của hai số phức tức là dựng tổng của hai vecto là những đối tượng hình học mà đối với chúng tồn tại các phép toán rất gần với các phép toán quen thuộc trong tập hợp các số.

Cấu trúc không gian của vecto (1844)

Grassmann

Vào thế kỷ XIX, khi nghiên cứu cấu trúc của các tập hợp vận dụng được các phép toán thì người ta mới rõ rằng cấu trúc của tập hợp các vecto trong mặt phẳng có thể áp dụng được cho những tập hợp khác, như tập hợp các ma trận chẳng hạn. Vậy nên trong “Lý thuyết mở rộng” của mình vào năm 1844, nhà toán học Đức H. Grassmann (1809-1877) đã định nghĩa các không gian vecto có số chiều lớn hơn ba. Trong khi nghiên cứu các quatecnion, W. Hamilton (1805-1865) cũng đã xây dựng nên những hệ thống vecto đầu tiên. Những định nghĩa đã rất có ích cho vật lý học khi xây dựng lý thuyết tương đối trong đó không thời gian được xem như một không gian vecto bốn chiều.

Hình học phi Euclide (thế kỷ XVIII)

Vào thế kỷ XVIII, G. G. Saccheri, J. H. Lambert, Taurinus, Reid và nhiều nhà toán học khác đã thử gán các hệ quả logic cho những sự phủ định tiên đề Euclide, nhưng họ đã không thực sự tin vào chuyện đó và đã không đi đến những lý thuyết hoàn hảo. Vào đầu thế kỷ XIX, những lý thuyết đó bắt đầu hình thành và quy về hai loại hình học khác nhau song đều khả dĩ và có thể xem xét cụ thể được.

Lobatchevski

Hình học Hypecbolic (thế kỷ XIX)

Nhà toán học Hungari J. Bolyai (1802-1860) và nhà toán học Nga N. I. Lobatchevski (1792-1856) đã xây dựng nên một loại hình học trong đó mặt phẳng là một bề mặt Hypecbolic; để hình dung một bề mặt như thế, ta có thể so sánh nó với một mặt yên ngựa.

Hình học Eliptic (thế kỷ XIX)

Nhà vật lý và toán học Đức C. F. Gauss (1777-1855) đã xây dựng một hình học, trong đó mặt phẳng được xác định như bề mặt một hình cầu có bán kính vô hạn; có thể hình dung được khái niệm đó khi so sánh với mặt nước, bởi vì Trái Đất là hình cầu chứ không phải như Euclide đã tưởng. B. Riemann (1828-1866), người Đức, là học trò của Gauss ở Gottingen, đã tiếp tục các công trình của Gauss và đã đề nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Eliptic như một trường hợp của một lý thuyết tổng quát hơn.

Định nghĩa hình học (1872)

Klein

Những công trình khác nhau ở đầu thế kỷ XIX về các loại hình học phi Euclide đã làm nảy sinh những sự ham mê và những cuộc bút chiến rất mạnh mẽ; thực tế chúng đã cách mạng hóa triết lý về các tri thức nhiều hơn là bản thân môn hình học.

Bởi thế cần phải thống nhất và sáng tạo ra một lý thuyết rộng hơn, trong đó những thế giới hình học khác nhau có thể cùng tồn tại. Nhà toán học Đức Felix Klein (1849-1925) trong bài phát biểu mở đầu Đại hội Erlangen (“Chương trình Erlangen” năm 1872) của mình đã định nghĩa hình học như bộ môn nghiên cứu các nhóm phép biến đổi khiến cho một số đối tượng hình học như đường trung tuyến hoặc đường cao trở nên bất biến. Chú ý đến cấu trúc của những nhóm đó, Klein đã gộp các loại hình học vào một lý thuyết đại số. Như vậy, là vào đầu thế kỷ XX không còn “những toán học” nữa, mà chỉ có “toán học” trong đó đại số và hình học chỉ là một.

Phỏng đoán bốn màu (1976)

Năm 1976, K. Appel, W. Haken và J. Koch ở Đại học Illinois (Mỹ) đã đưa ra sự chứng minh về sự phỏng đoán bốn màu. Phỏng đoán này khẳng định rằng, toàn bộ bản đồ địa lý được vẽ trên một mặt phẳng hay một mặt cầu, mà mỗi lớp chiếm riêng một khoảnh (không có thuộc địa cũng không có nước khác lọt vào giữa), có thể được tô chỉ bằng bồn màu sao cho hai nước khác nhau có các màu khác nhau. Việc chứng minh điều phỏng đoán đó đã được thực hiện nhờ tính toán 12.000 giờ trên các máy tính mạnh nhất; vậy nên đầu óc con người không thể kiểm chứng được nó và nó đặt ra những câu hỏi về “tính toán học” của nó. Nhất là nó đã kích thích các nghiên cứu về các lý thuyết đồ thị hiện đang chiếm một vị trí lớn trong giải tích tổ hợp.

Xem thêm: K. Appel, W. Haken and J. Koch, Every planar map is four colorable. Part II. Reducibility. Illinois J. Math. 21 (1977), pp. 491–567.