Vào ngày 7 tháng 10 năm 1931, khi 24 tuổi, ông loan báo kết quả của mình, một chứng cứ bày tỏ rằng bất cứ hệ thống hình thức nào đủ phong phú để biểu hiện số học cũng sẽ có một mệnh đề là đúng và không thể chứng minh. Ông thực sự còn bày tỏ cách kiến thiết, trong mỗi hệ thống hình thức nhất trí, một mệnh đề số học chân thực mà không thể chứng minh. Điều này nghe ra nghịch lí, bởi nếu ông bày tỏ rằng nó chân thực, thì không phải là ông đã chứng minh nó chân thực rồi sao? Nhưng nó không nghịch lí. Chứng cứ này lướt bên mép bờ của nghịch lí.
Một phần hậu cảnh tiếp ngay với Chứng cứ của Godel không chỉ là Chương trình của Hilbert, mà còn là thủ đô Viên [Vienna] trong những năm cuối thập niên 1920 và đầu thập niên 1930. Khi còn là sinh viên, Godel đã được một trong những giáo sư của mình là Hans Hahn, mời tham dự những buổi gặp mặt truyền kì của những nhà thực chứng luận lí (logical positivists), là những người sau này được biết đến như Nhóm Viên (the Vienna Circle). Đôi khi Gdel được xếp loại như là một nhà thực chứng luận lí là bởi sự liên kết thời trẻ này. Đúng là Godel đã không tranh luận với họ khi tham dự những buổi họp tổ chức tại một căn phòng u ám trước tầng hầm của Đại học Viên. Nhưng chính bởi ông chọn cách không tranh luận không có nghĩa là ông chẳng bất đồng với họ một cách kịch liệt. Một người say mê chủ nghĩa Platon ắt phải so le một cách sâu xa với những nhà thực chứng luận lí.
Godel không tin vào khả năng truyền thông của chúng ta. Ông nghĩ rằng ngôn ngữ tự nhiên là không chính xác, và chúng ta thường không hiểu nhau. Godel muốn minh chứng một định lí toán học, nó sẽ có toàn bộ sự chính xác của toán học – là ngôn ngữ duy nhất có thể tuyên xưng ít nhiều về sự chính xác – nhưng với tầm vóc triết học. Ông muốn một định lí toán học có thể đáp ứng những để xuất của siêu toán học (meta-mathematics). Và hai điều phi thường đã xảy ra. Một là ông thực sự đã tạo tác ra một định lí như thế. Một nữa là những thành phần sinh động hơn trong cõi văn hóa trí thức đã thông giải định lí đó về mặt triết học, và nói lên ngay cái điều đối nghịch với điều ông chủ ý để nói bằng chính định lí đó. Godel chủ ý chứng tỏ rằng tri thức toán học của chúng ta vượt quá những chứng cứ hình thức của chúng ta. Ông không có ý muốn lật đổ quan niệm rằng chúng ta có được tri thức toán học khách quan, hoặc cũng không có ý tuyên xưng rằng không có chứng cứ toán học – hoàn toàn trái lại. Ông tin rằng chúng ta tất nhiên là có tiếp cận với một thực tại toán học độc lập. Những hệ thống hình thức của chúng ta là bất toàn bởi có nhiều thực tại toán học hơn là có thể chứa trong bất cứ hệ thống hình thức nào của chúng ta. Chính xác hơn, điều ông bày tỏ là toàn thể những hệ thống hình thức của chúng ta đủ mạnh cho số học thì hoặc là bất nhất hoặc là bất toàn. Vậy mà một hệ thống bất nhất thì hoàn toàn vô giá trị bởi vì những hệ thống bất nhất cho phép bạn dẫn xuất những mâu thuẫn. Và một khi bạn có một mâu thuẫn thì bạn có thể tha hồ chứng minh bất cứ điều gì.
Bà có nghĩ rằng chứng cứ của Godel phơi mở một điều gì về tương quan giữa ngôn ngữ và thực tại?
Chứng cứ của Godel không xem ngôn ngữ mang tính kiến thiết thực tại. Đúng hơn ngôn ngữ lệ thuộc vào thực tại. Nhưng điều đó không có nghĩa là ngôn ngữ không quan trọng trong chứng cứ, là không có điều gì đó mê huyền diễn ra trong những ngôn ngữ, có thể bảo rằng, được nói lên trong chứng cứ. Thực vậy, chứng cứ đó là một sự xếp tầng nhiều loại ngôn ngữ, và cung cách theo đó chứng cứ liên kết những tầng lớp này là cốt tuỷ chiến lược của chứng cứ.
Có ngôn ngữ toán học thuần túy, và rồi có ngôn ngữ siêu toán học, nó mô tả tự thân những hệ thống hình thức, những quy luật của những hệ thống hình thức. Cái khéo khôn là ở ch ỗ ông khiến những câu vốn nói một điều gì thẳng băng về số học cũng đồng thời nói một điều gì đó về chính chúng. Những câu này xoay xở để nói lên trên hai bình diện, và sự nói nước đôi (double-speak) này được hoàn tất qua cái ngày nay chúng ta gọi là đánh số Godel (Gdel numbering). Mỗi thành tố trong hệ thống đều có một số, và bạn cũng có thể ủy thác những con số cho những công thức hoàn thiện (well- formed formulas) gồm những thành tố kia, và cho những chuỗi của các công thức hoàn thiện – vốn là thực chất của các chứng cứ – bằng những quy luật tổ hợp (combinatorial rules). Cho sẵn bất cứ dây kí hiệu nào (string of symbols) bạn có thể dẫn xuất con số duy nhất đi cùng với dây đó, và đảo lại. Bởi có sự đánh số của Godel, những mệnh đề kia vừa nói một điều gì thẳng băng về số học nhưng cũng đồng thời nói một điều gì về chính chúng, một điều gì về những tính chất hình thức của riêng chúng. Đó là cung cách theo đó tính tự thân quy chiếu (self-referentiality) được sử dụng trong chứng cứ.
Tính tự thân quy chiếu, vốn đã sản sinh nhiều vấn đề luận lí quỷ quái – nhà luận lí học Raymond Smullyan đã viết rất hay về chúng trong những cuốn sách lí thú của ông – có cội nguồn từ thời Hi Lạp cổ đại, khi Epimenides, một người dân đảo Crete, nói rằng mọi người dân đảo Crete đều nói dối. Đây là một nghịch lí. Nói cho ngay, trong phát ngôn của Epimenides không có gì nghịch lí nhưng nó ắt dẫn tới câu sau đây, lại lẫy lừng mang tính nghịch lí: “Câu này sai”. Điều Epimenides nói được triển khai là: “Tôi là một người dân đảo Crete; mọi điều người dân đảo Crete nói là sai; ngay điều tôi nói đây là sai”. Và câu phát biểu cuối cùng thực sự nghịch lí. Bởi vì nếu nó đúng thì ắt nó sai, và nếu nó sai thì ắt nó đúng.
Và tâm trí đổ sụp. Godel đã chiếm hữu dạng thức cổ đại nghịch lí này để sản xuất ra một mệnh đề mà chúng ta có thể thấy là nó đúng chính bởi vì chúng ta có thể thấy là nó không thể chứng minh. Mệnh đề này có một ý nghĩa toán học thuần tuý, thẳng băng nhưng nó cũng là một mệnh đề nói về tự thân. Mệnh đề này, thực sự, là: “Chính mệnh đề này không thể chứng minh được”. Nó đúng, hay nó sai? Nếu nó sai, ắt sự phủ định mệnh đề đó là đúng. Sự phủ định mệnh đề đó nói rằng mệnh đề có thể chứng minh. Vậy, giả định là hệ thống nhất trí, nếu mệnh đề nói nước đôi, vấn nạn này là sai, ắt sự phủ định của nó là đúng, điều đó có nghĩa là tự thân mệnh đề vấn nạn kia như thế có thể chứng minh được. Vậy là nếu nó sai, nó không thể là sai được. Nếu nó sai ắt là nó đúng. Vậy nên nó phải đúng. Nhưng không thể chứng minh được.
Đó là cung cách ông thực hiện. Đó là mệnh đề vừa đúng vừa không thể chứng minh được. Và hãy nhớ rằng nó còn có một ý nghĩa số học nghiêm ngặt nữa. Điều đó được hoàn tất qua sự đánh số Godel. Vậy là ông đã chứng tỏ rằng trong bất cứ hệ thống hình thức nhất trí nào về số học sẽ có những mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh được. Một hệ thống hình thức về số học hoặc phải là bất nhất, hoặc là bất toàn. Định lí bất toàn thứ nhì, vốn tiếp theo khá thẳng băng từ định lí thứ nhất, chứng minh rằng một trong những điều bạn không thể chứng minh trong một hệ thống hình thức về số học là tính nhất trí của chính hệ thống đó. Vậy nên đang khi bạn làm việc trong một hệ thống bạn không thể chứng minh từ bên trong hệ thống đó là nó nhất trí. Và dĩ nhiên là một hệ thống bất nhất thì vô giá trị bởi lẽ bạn có thể chứng minh bất cứ điều gì trong một hệ thống bất nhất.
Edge: Bà có thể nói điều gì về môi giới trong đó Godel sống vào lúc ông ta tạo tác ra những định lí này không?
Goldstein: Giữa hai cuộc thế chiến, Vienna là một nơi bừng men trí tuệ. Có một sự bất mãn và tỉnh mộng đối với những cung cách cũ về tiến hành công việc. Những sự kinh hoàng của Thế chiến 1 vẫn còn trong bộ nhớ hiện hành và có một toan tính để vứt bỏ những lề lối xưa, để nghĩ lại về sự việc trong nhiều địa hạt.
Giữa hai cuộc thế chiến, Vienna là một nơi bừng men trí tuệ. Có một sự bất mãn và tỉnh mộng đối với những cung cách cũ về tiến hành công việc. Những sự kinh hoàng của Thế chiến 1 vẫn còn trong bộ nhớ hiện hành và có một toan tính để vứt bỏ những lề lối xưa, để nghĩ lại về sự việc trong nhiều địa hạt.
Vậy nên chúng ta thấy môn phân tâm học khởi đầu ở đó, và kiến trúc theo chủ nghĩa hiện đại của Adolf Loos, và Arnold Schoenberg với âm nhạc vô chủ âm (atonal music). Có nhiều đối thoại liên văn hóa và liên khoa. Những người chủ nghĩa thực chứng lí luận là một bộ phận thiết tha với điều này. Họ cố gắng nghĩ lại những cơ sở của tri thức, nghĩ lại những cơ sở của ngôn ngữ. Họ tuyên xưng rằng nếu chúng ta thanh tẩy ngôn ngữ, chúng ta sẽ có thể thanh tẩy tri thức.
Như nhà chủ nghĩa thực chứng lí luận quan niệm, phần lớn sự kinh hoàng đưa đến hậu quả trong Đại chiến là do sự suy nghĩ lộn xộn mà ra. Người ta tuyên xưng là biết những điều không có cách nào họ khả dĩ biết được. Những quan tâm chính trị đã đem lại sự hăng say cho vận động kia. Nếu chúng ta khiêm tốn hơn trong những tuyên xưng về tri thức của chúng ta, có lẽ chúng ta sẽ tránh được phần nào cái bi kịch mà loài người chúng ta có hướng ngả theo. Nhiều người trong bọn họ – chắc chắn có Neurath và Carnap – cũng có chính trị thiên tả nữa. Họ dịu giọng khi sang Hoa Kì. Nhưng ở Vienna, khi Gôdel còn ở đó, có một sự hăng say trong cố gắng nghĩ lại ngôn ngữ và những giới hạn của điều gì ta có thể nói.
Wittgenstein có một ảnh hưởng cực lớn lên Nhóm Vienna gồm những nhà thực chứng lí luận. Ông đã viết cuốn Tractatus Logico-Philosophicus [Luận về triết học Luận lí] trong những chiến hào của Thế chiến 1. Trong sách đó, xuất bản năm 1922, ông cố gắng phác thảo những phạm vi riềm ngoài của ngôn ngữ và chứng tỏ rằng ngôn ngữ có một biên giới quanh nó. Có những quy luật cho phép chúng ta nói điều gì nói được, và có rất nhiều thứ nằm bên kia biên giới. Ông ghi nhận là phần lớn những điều quan trọng không thể nói được.
Nhưng ở đó ông bất đồng ý kiến với những người thực chứng lí luận. Những người thực chứng chiến đấu về phía bên kia đường phân ranh; ngoài cái nói được chẳng có gì hết cả. Xa hơn cái chúng ta có thể nói không có gì cả. Nhưng Wittgenstein thực sự tin rằng chiều quan trọng nhất, cái mà ông tham chiếu như là “điều huyền nhiệm” (the mystical) chỉ là không nói được mà thôi, không hề có nghĩa là nó không tồn tại. Nếu chúng ta cố nói nó, chúng ta sẽ thốt ra cái vô nghĩa. Nhưng nó là cái vô nghĩa quan trọng. Vậy nên, Wittgenstein không thực sự là một nhà thực chứng. Nhưng Nhóm Vienna lại cứ hiểu ông là một nhà thực chứng và họ thán phục ông quá chừng. Họ ra công học tập cuốn Tractatus và họ học nó suốt một năm ròng. Và nó là một cuốn sách mỏng! Họ gặp nhau mỗi tối thứ năm và học từng câu một trong cuốn Tractatus. Cuốn sách có bề ngoài rất sáng tỏ, nhưng thực ra nó khá tối tăm. Nó hoàn toàn đẹp, hoàn toàn mang tính thơ, nhiều chất nghệ thuật hơn là khoa học, như thực tế nhà lí luận học Frege đã viết cho Wittgenstein, ở một trong những bức thư dường như tán tụng kia mà một tác giả có lẽ không nên nhận được thì hơn. Mặc dù những nhà thực chứng khởi hứng từ Wittgenstein, ông này có một thái độ lưỡng lự đối với họ. Ông ta chỉ nói chuyện với một ít người: Schlick và Friedrich Waissman, một đệ tử sùng bái Wittgenstein. Wittgenstein là một người có cá tính mạnh mẽ, một người có mị lực rất lớn.
Wittgenstein lúc đó mới khoảng bước qua tứ tuần. Ông đã sang học ban cử nhân ở Đại học Cambridge trước chiến tranh và đã khiến Bertrand Russell bị kích động. Russell, cùng với Alfred North Whitehead, đã viết bộ sách Principia Mathematica [Những nguyên lí toán học], ra sức giảm trừ số học vào lí luận và lí thuyết tập hợp (set theory). Một vấn đề trùm lấp là làm sao bảo vệ hệ thống luận lí và lí thuyết tập hợp của bạn tách khỏi những tập hợp nghịch lí. Bản thân Russell đã từng khám phá ra một trong những tắc ách này của lí tính tiên nghiệm: tập hợp của mọi tập hợp vốn không phải là thành phần của chính chúng. Điều này dẫn tới một nghịch lí – bạn thấy điều này khi bạn hỏi phải chăng tập hợp này là một thành phần của chính nó: nếu nó là thì ắt nó không là, và nếu nó không là thì ắt nó là. Nói cách khác, không thể có một tập hợp như thế bởi vì nó dẫn tới nghịch lí. Vì vậy, hệ thống hình thức của bạn phải chặn sự hình thành loại tập hợp này, và những cái khác khi chúng dẫn tới những nghịch lí. Tác phẩm Những nguyên lí toán học của Russell và Whitehead có một tập hợp những quy luật đặc biệt – họ gọi nó là lí thuyết về kiểu mẫu (the theory of types) – chúng sẽ canh để gạt ra ngoài lí thuyết tập hợp những tập hợp vấn nạn nhất định – loại tập hợp mang lại nghịch lí. Nhưng điều này hoàn toàn tùy tiện. Họ không có một lí thuyết về những gì đang diễn tiến ở đó, và họ phát ra một lời mời các nhà toán học và các nhà luận lí đưa ra một giải thích tốt hơn – một lí thuyết về việc khi nào thì ngôn ngữ sạch và thuần, và khi nào thì nó nhiễm nghịch lí. Làm sao chúng ta có thể thanh tẩy ngôn ngữ luận lí toán học của chúng ta để nó không hình thành những nghịch lí. Điều đó đã cù rủ Wittgenstein tới Cambridge.
Wittgenstein có một ảnh hưởng to lớn lên Russell. Thoạt tiên Russell nghĩ là Wittgenstein có một loại mẫn cảm mới. Ông cho Russell cái cảm quan rằng ông thực sự biết một điều gì không thể truyền thông, rằng có một điều gì ông đang cố gắng nắm bắt mà Russell nhìn không ra. Kết quả của những tương tác này là Russell bỏ hẳn luôn môn luận lí toán học. Wittgenstein làm cho Russell vững tin rằng những lề lối làm việc cũ kĩ của mình là sai. Russell nói rằng ông không thể hoàn toàn hiểu những gì Wittgenstein nói, nhưng ông cảm thấy tận trong xương tủy là anh ta phải đúng. Đó là thứ tác động mà Wittgenstein có trên người anh ta.
Khi đi vào chiến hào ông viết cuốn Tractatus. Nó có một tác động to lớn lên những nhà tư tưởng ở Vienna đang cố nghĩ lại những cơ sở của mọi tri thức và mọi ngôn ngữ. Và như tôi đã nhắc, ông luôn chối bỏ họ, ông nói rằng bọn họ không hề hiểu ông. Một trong những cách để thực sự hiểu điều này là cái mệnh đề cuối cùng trong cuốn Tractatus: “Về điều gì chúng ta không thể nói lên, về điều đó chúng ta phải im lặng”. (Of what we cannot speak thereof we must be silent). Nó có lưỡng nghĩa. Nó có thể có nghĩa là mọi sự hiện diện đều có thể nói và chúng ta có thể nói rành mạch, hoặc nó có thể có nghĩa là có những sự kiện ở ngoài kia, nhưng ngôn ngữ của chúng ta không đầy đủ để biểu hiện chúng; rằng ngôn ngữ của chúng ta chừa ra những khoanh của thực tại. Nếu chúng ta cố biểu hiện cái bất khả ngôn trong ngôn ngữ, chúng ta sẽ vi phạm những quy luật của ngôn ngữ và mắc vào sự vô nghĩa.
Wittgenstein dường như muốn nói cách sau; rằng có những khía cạnh của thực tại vượt ngoài khả năng của chúng ta để biểu hiện chúng.
Những nhà thực chứng hiểu cách, cách trước, rằng tiêu chuẩn cho sự có nghĩa làm cạn kiệt mọi sự kiện. Mọi thứ có thể nói đều có thể nói rành mạch, và không có gì khác ngoài kia.
Chẳng thú vị sao, là trên đời lại có những triết gia bị ám ảnh với cố gắng nói sự vật một cách chính xác, với sự ban ra những quy luật của mọi sự chính xác, và những gì họ nói hoài về sự chính xác thì lại không đủ chính xác cho họ hiểu nhau. Bạn có thể hiểu câu nói của Gôdel, như ông ta được viện dẫn là đã nói với nhà toán học Menger một đêm kia khi họ cùng thả bộ về nhà sau một trong những buổi gặp gỡ của nhóm thực chứng lí luận, đại khái là: “Tôi càng suy nghĩ về ngôn ngữ thì dường như đối với tôi lại càng khó có thể cho chúng ta rằng bao giờ người ta hiểu được nhau”. thaydo.idn.vn post.