Câu 1.
a) Tính giới hạn: $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\int_{0}^{\sin x}(e^{t^2}-1)dt}{\int_{0}^{x} 2t^2dt}dx$
b) Chứng minh rằng với mọi x>0 ta luôn có: $\ln (1+x) <x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$
Câu 2.
Chứng minh rằng dãy số $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ là dãy số giảm.
Câu 3.
Cho phương trình : $\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-4}+…+\dfrac{1}{x-n^2}=0$
a, Chứng minh phương trình có nghiệm thực duy nhất thuộc (0, 1), ký hiệu nó là $x_n$
b, Chứng minh $x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$
Câu 4.
Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên [0, 1] sao cho: $f(0)=0,\ f(1)=1, 0 \le f(x) \le 1$.
Chứng minh tồn tại hai số $a \ne b, \ a, b \in (0, 1)$ sao cho $f'(a).f'(b)=1$
Câu 5.
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1} xf(x)dx=1$ Chứng minh rằng : $\int_{0}^{1}[f(x)]^2dx \ge 4$
Câu 6. Tìm mọi hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :
1, $f(x)=-f(-x)$
2, $f(x+1)=f(x)+1$
3, $f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\ x \ne 0$