Đề thi HSG lớp 12 môn Toán TP Hải Phòng 2011-2012 – Thầy Đồ – Dạy toán

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Môn Thi : Toán

Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases}& 2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\\ <br /> &\sqrt{x+\sqrt{x-2y}} =x+3y-2<br /> \end{cases}$

Bài 2. Cho $\mathbb N^*\to\mathbb N^*$ thỏa mãn các điều kiện sau

$\begin{cases}f(1)=1\\f(n)=n-f(f(n-1))\forall n\geq 2\end{cases}$

Hãy chứng minh rằng :

f(2012)=f(2011) hoặc f(2012)=f(2011)+1

Bài 3. Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng

$4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq 1$

Bài 4. Cho tam giác ABC không cân có BC=a,CA=b,AB=c. Giả sử $AA_1,BB_1,CC_1$ là các đường phân giác trong của $\triangle ABC$ . Chứng minh rằng nếu $A_1B_1=A_1C_1$ thì

$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c}$

Bài 5. Tìm các hoán vị p của tập {1,2,…,2011} thỏa mãn $|p(1)-1|+|p(2)-2|+...+|p(2011)-2011|=\dfrac{2011^2-1}{2}$