Đề thi HS giỏi toán vòng 2 Tỉnh Đồng Tháp 2010 – Thầy Đồ – Dạy toán

1/Giải phương trình:
$\blue \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=y-x$
$\blue \sqrt{1-x^2}+y=2y\sqrt{2-2x^2}<br />$
2/Cho dãy số $\blue u_{n}$ được xác định:
$\blue u_{1}=3$
$\blue \frac{u_{n}^{2}+2007u_{1}+2}{2010}$
Ta thành lập dãy $\blue S_{n}$ với $\blue S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}-1}{u_{i+1}-2}$ .Tìm lim của $\blue S_{n}$ .
3/Cho M là điểm nằm bên trong tam giác ABC.Các đường thẳng AM,Bm,Cm lần lượt cắt các cạnh BC,CA,AB tại các điểm A’,B’,C’.Đặt S1,S2,S3,S4,S5,S6 lần lượt là các diện tích của những tam giác MA’B,MA’C,MB’C,MB’A,MC’A,MC’B.Chứng minh rằng nếu $\blue \frac{S1}{S2}+\frac{S3}{S4}+\frac{S5}{S6}=3$ thì M là trọng tâm của tam giác ABC.
4/Tìm nghiệm nguyên của phương trình
$\blue (x+2010)(x+1986)=3^y-81$
5/Có bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 3 và có ít nhất 1 chữ số 6?