ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NGHỆ AN – 2011-2012 – Thầy Đồ – Dạy toán

Ngày thứ nhất (11.10.2011)
Bài 1(3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y}=16}\\\frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}}\end{cases}$
Bài 2(4,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn: $x^{2010}+x^{2009}+...+x+2=y^{5}$
Bài 3.(4,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi K là giao điểm của phân giác góc A của tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE (K khác A). Chứng minh rằng hai tam giác BHK và CHK có diện tích bằng nhau.
Bài 4. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:R_{+}^{*}\rightarrow R_{+}^{*}$ thoả mãn: $f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$ với mọi: $x,y\in R_{+}^{*}$ .
Bài 5 (5, 0 điểm)
Cho số nguyên tố p>3 và M = {1; 2; …; p}. Với mỗi số nguyên k thỏa mãn $1\leq k\leq p$ ta đặt ${E}_{k}=\{A\subset M:\left|A \right|=k}$ và $x_{k}=\sum (min A + maxA)$ với $A\in E_{k}$
Chứng minh rằng: $\left( x_{1}C_{1}^{p}+ x_{2}C_{2}^{p}+... x_{p-1}C_{p-1}^{p}\right)\equiv \left(mod p^3 \right)$ .Trong đó |A| là số phần tử của tập hợp A.