Đề thi học sinh giỏi Chuyên KHTN 2011-2012

Vòng 1
Ngày thi thứ nhất

Câu I. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương đều tồn tại số nguyên dương sao cho

Câu II. Cho dãy số xác định như sau :

Tính

Câu III. Cho tam giác ABC và điểm P bất kì nằm trong tam giác.PA,PB,PC cắt các cạnh BC,CA,AB tại các điểm A’,B’,C’.
a) Chứng minh rằng : (AB’C’),(BC’A’) và (CA’B’) có một điểm chung.
Gọi nó là điểm Q.
b) Giả sử AA’,BB’,CC’ không đi qua Q.Chứng minh rằng (AQA’),(BQB’),(CQC’) có điểm chung khác Q.

Câu IV. Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
.