Thời gian : 150 phút
Phần I. Số học
Bài 1: (3.0 điểm)
a. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho chia hết cho 11.
b.Chứng minh rằng chia hết cho 91 với mọi
.
Bài 2: (1.5 điểm )
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho trong dãy n+1;n+2:…;n+10 có nhiều số nguyên tố nhất.
Bài 3: (1.0 điểm )
Cho s,t là các số khác 0,<x,y> là cặp bất kỳ các số nguyên . Xét phép chuyển<x,y> thành <x-t;y-s> . Cặp <x,y> được gọi là “tốt” nếu sau một số hữu hạn ( có thể bằng 0) bước chuyển , từ cặp <x,y> ta có thể thu được 2 số nguyên không nguyên tố cùng nhau.
a. Tìm s,t sao cho <s,t> là một cặp tốt.
b. Chứng minh rằng : với mọi s,t tồn tại một cặp <x,y> ko tốt.
Phần II.Hình Học
Bài 4: (2.0 điểm )
Cho tứ giác ABCD nội tiếp , AD cắt BC tại F , AC cắt BD tại E. Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác AEB và CED. Chứng minh rằng F,H,K thẳng hàng.
Bài 5: (2.5 điểm )
Cho tam giác ABC ko cân ko vuông , các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại trực tâm H. Đường thẳng qua D và song song với EF cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt tại Q,R . BC cắt EF tại P , M là trung điểm BC.
a. Chứng minh rằng : H là trực tâm tam giác APM.
b, Chứng minh rằng : P,Q,R,M cùng thuộc một đường tròn.