Đề kiểm tra lần II của đội tuyển dự thi VMO của Đà Nẵng – Thầy Đồ – Dạy toán

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN
NĂM HỌC 2011-2012
THỜI GIAN: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (5,0 điểm)
a/ Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {2 + 3y} \right) = 1 \\x\left( {{y^3}-2} \right) = 3 \\ \end{array} \right.$

b/ Cho m số nguyên dương $a_1;a_2;...;a_m$ thỏa $a_1+a_2+...+a_m=n$ với n là số nguyên dương.
Chứng minh rằng:
${n^2}\left( {\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}}}} \right) \ge 4\left( {n - 1} \right)\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right) + n{\left( {n - 2} \right)^2}$

Câu 2. (6,0 điểm) Cho 2 đường tròn (C1) và (C2) có tâm O1;O2 tương ứng, cắt nhau tại A,B.
a/ Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (C1);(C2) lần lượt tại M,N khác A. Gọi P là điểm sao cho BMPN là hình bình hành. Tìm quỹ tích điểm P.
b/ Đường tròn đường kính O1A cắt (C2) tại C, đường tròn đường kính O2A cắt (C1) tại D. AC kéo dài cắt (C1) tại K, AD kéo dài cắt (C2) tại H. Chứng minh rằng khi (C1) và (C2) thay đổi nhưng luôn đi qua A,B thì đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK đi qua 1 điểm cố định.

Câu 3. (5,0 điểm) Cho p là một số nguyên tố và q là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên m và n với 0<m<n<p và $\left\{ {\frac{{q.m}}{p}} \right\} < \left\{ {\frac{{q.n}}{p}} \right\} < \frac{q}{p}$ khi và chỉ khi q không là ước số của p−1.

Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình vuông 4×4 ô vuông. Người ta muốn đánh dấu 8 ô của hình vuông thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a/ Số ô được đánh dấu trên mỗi hàng, mỗi cột là một số chẵn.
b/ Không có hai hàng nào và không có hai cột nào được đánh dấu giống nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách đánh dấu như vậy?
(VMF)