Đề – gợi ý thi HSG toán 12 – chuyên LQĐ – Bình Định 2010-2011

Bài1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:

Bài2: (4 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn: . Tìm GTLN của biểu thức:

Bài3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và XY là một dây cung vuông góc với BC. Lấy P, M nằm trên đường thẳng XY và CY tuơng ứng, sao cho CY song song với PB và CX song song với MP; K là giao điểm của CX và BP. Chứng minh rằng MK vuông góc với BP.

Bài4: (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b), trong đó a và b có hai chữ số và thỏa mãn 100a+b và 201a+b là các số chính phương có 4 chữ số.

Bài5: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:

Bài 1:
ĐK: x>0;
pt (1) tương đương

hoặc
* Xét, từ pt 2 ta thấy y>0 nên vô lý.
Do đó , thế vào 2 ta được

(1)
Đặt ta có với mọi x>0.
nên f(t) đồng biến trên
Mặt khác, xét ta có
Do đó g(t) nghịch biến.
Suy ra pt (1) có nhiều nhất 1 nghiệm trên tập xác định. dễ thấy là nghiệm của pt, vậy đó là nghiệm duy nhất.
ta có
Vậy nghiệm của hệ là

Bài 2:


suy ra
hoặc
Vì a+b+c=1 và a, b, c >0 nên a<1. Suy ra pt có nghiệm
Lập bảng biến thiên ta thấy
Dấu “=” khi

Bài 4:
Đặt ,
Vì là số chính phương có 4 chữ số nên
Trừ vế theo vế

Mặt khác và



Thế vào 2 biểu thức ban đầu, được

Do pt trên có nghiệm nguyên dương nên là số chính phương.
Khi đó đặt , vì nên
Mà k chẵn nên k=284, suy ra b=64, a=17
Thử lại.
Vậy  (a,b)= (17;64)

Bài 5
(1)
Đặt f(0)=a
Thay x=y=0 vào (1), ta được (2)
Thay x=y vào (1), ta được (3)
Suy ra (4)
Nếu tồn tại
Thay y=0 vào (1) được (5)
Thay x=0, y=-x vào (1) được
(6)
Từ (5) và (6):
(7)
Thay vào (7) được (8)
Mặt khác từ (3) suy ra f đơn ánh. Nên từ (8) suy ra (mâu thuẫn). Do đó . Hay (9)
Thay (9) vào (7) ta được
Suy ra a=0 vì nếu thì (mâu thuẫn với (8))
Do đó, từ (3) có
Nếu tồn tại thì khi đó theo (5) ta có (vô lý)
Nghĩa là
Do vậy từ (9) ta được
Thử lại thấy thỏa mãn.
Kết luận: nghiệm thỏa mãn PT đã cho là