Ngày thi: 01/10/2010
Bài1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:
Bài2: (4 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn:
. Tìm GTLN của biểu thức:
Bài3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và XY là một dây cung vuông góc với BC. Lấy P, M nằm trên đường thẳng XY và CY tuơng ứng, sao cho CY song song với PB và CX song song với MP; K là giao điểm của CX và BP. Chứng minh rằng MK vuông góc với BP.
Bài4: (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b), trong đó a và b có hai chữ số và thỏa mãn 100a+b và 201a+b là các số chính phương có 4 chữ số.
Bài5: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
ĐK: x>0;
pt (1) tương đương
* Xét
Do đó
Đặt
nên f(t) đồng biến trên
Mặt khác, xét
Do đó g(t) nghịch biến.
Suy ra pt (1) có nhiều nhất 1 nghiệm trên tập xác định. dễ thấy
ta có
Vậy nghiệm của hệ là
Bài 2:
suy ra
hoặc
Vì a+b+c=1 và a, b, c >0 nên a<1. Suy ra pt có nghiệm
Lập bảng biến thiên ta thấy
Dấu “=” khi
Bài 4:
Đặt ,
Vì là số chính phương có 4 chữ số nên
Trừ vế theo vế
Mặt khác và
Thế vào 2 biểu thức ban đầu, được
Do pt trên có nghiệm nguyên dương nên là số chính phương.
Khi đó đặt , vì
nên
Mà k chẵn nên k=284, suy ra b=64, a=17
Thử lại.
Vậy (a,b)= (17;64)
Đặt f(0)=a
Thay x=y=0 vào (1), ta được
Thay x=y vào (1), ta được
Suy ra
Nếu tồn tại
Thay y=0 vào (1) được
Thay x=0, y=-x vào (1) được
Từ (5) và (6):
Thay
Mặt khác từ (3) suy ra f đơn ánh. Nên từ (8) suy ra
Thay (9) vào (7) ta được
Suy ra a=0 vì nếu
Do đó, từ (3) có
Nếu tồn tại
Nghĩa là
Do vậy từ (9) ta được
Thử lại thấy thỏa mãn.
Kết luận: nghiệm thỏa mãn PT đã cho là

Đặt
Ta có
Và
Suy ra tam giác BPD cân tại P.
Do tam giác KPX cân tại K (
Suy ra MC=KP=KA (MCKP là hình bình hành) . Mà MC//KA suy ra MCAK là hình bình hành
Suy ra MK//AC hay