1. Cho đến lúc phát sinh ra các hình học phi Euclid, người ta vẫn nghĩ rằng các hình thức khách thể ấy là tương ứng với cách sơ đồ hóa duy nhất và độc nhất có thể có của các đối tượng của kinh nghiệm, đặc biệt là kinh nghiệm không gian. Kể từ Euclid, người ta có thể xem là đúng, theo nghĩa tuyệt đối, các biểu ngôn (1) liên quan đến những hình thức khách thể như thế, lúc bấy giờ được xác định bằng một hệ thống định nghĩa và tiên đề ít nhiều hiển minh, từ đó qui ra biểu đồ ấy. Cách chứng minh toán học như vậy là đã xuất hiện khá sớm nhằm xác lập sự đúng đắn của các biểu ngôn trong nội bộ một hệ thống tiên đề, quan niệm mà Euclid vẫn theo vào khoảng năm 300 trước công nguyên, và đã được Aristotle hệ thống hóa cho thế hệ trước đó. Nhưng Aristotle và những người kế tục ông trong hàng thế kỉ, vẫn tưởng là có thể qui mọi chứng minh toán học về các công thức tam đạm luận áp dụng trong những trường hợp người ta muốn nối hai khái niệm qua trung gian của một khái niệm thứ ba. Các khái niệm biểu hiện bằng các vế, lúc đó được kết hợp thành mệnh đề theo những hình thức cố định, như: ”p thuộc mọi q” hoặc “p không thuộc bất kỳ q nào”. Song cách lý luận toán học chỉ biểu hiện ngẫu nhiên dưới dạng này. Chính Euclid đã cấp cho nó một hình thức chung, phần nào được nghi thức hóa, nhưng hoàn toàn không theo tam đoạn luận.
Thực vậy, công việc của nhà toán học hoàn toàn không qui về chỗ chứng minh. Các bài toán mà anh ta gặp hoặc tự đề ra cho mình chắc hẳn có thể thuộc kiểu: mệnh đề này mà tôi phỏng đoán là chân lý, tôi có thể chứng minh được không? Mà cũng có thể thuộc kiểu: làm sao định nghĩa lại một khái niệm nào đó để nó thích hợp với một tình thế mới nào đó và cấp một ý nghĩa cho một kết quả nào đó, hoặc khái quát hóa được kết quả? Thành ra, trong nhiều trường hợp, chính sự thất bại trong việc chứng minh một điều ức đoán lại tạo ra những khảo sát có kết quả, những cải tiến bất ngờ: chính vì vậy mà các cố gắng bỏ ra không có kết quả để chứng minh định lý Fermat nổi tiếng, và nhất là giả thuyết của Riemann (2) lại là cội nguồn của những tiến bộ to lớn trong lý thuyết số (O.Zariski, A.Weil, P.Deligne). Cũng vậy, có những chứng minh về tính không thể có được đã gợi nên những cách phát triển phong phú (tính không thể có được của một thuật toán cho ta biết xem một phương trình của đa thức với các hệ số nguyên sẽ có được nghiệm số hữu tỉ hay không: Matiasevich, 1970). Ngược lại, cũng có tình hình là một chứng minh song xuôi, có thể nói , sẽ khép lại một hướng đi, xếp một đề xuất, đôi lúc cả một lý thuyết, vào viện bảo tàng của các chân lý đã được xác minh nhưng, ít nhất là tạm thời, không phát triển tiếp được.
2. Song không phải vì thế mà một mệnh đề toán học chỉ thực sự được chấp nhận khi đã được chứng minh, Sự chứng minh có thể xuất hiện dưới dạng một sự xác minh những trường hợp sơ đẳng: kết quả của một phép toán đơn giản đối với con số hoặc những khách thể khác, sự xác nhận một cấu hình hình học nào đó. Khi việc liệt kê các trường hợp ấy, trong một chứng minh phức tạp, sự liệt kê mà nhà toán họcđã biết được qui luật hình thành là rất lớn thì có lúc, người ta giao việc xác minh cho một cái máy. Đó là điều đã xảy ra mới đây trong việc chứng minh ”Định lý bốn màu” (3) (Appel và Haken, 1977). Người ta nghi ngờ tính hợp thức của một cách chứng minh như thế. Tuy nhiên, cần phải nhìn thấy rằng ở đây máy tính chỉ vận dụng lặp đi lặp lại, với ít nguy cơ lầm lẫn hơn so với đầu óc con người , cái mà con người đã nghĩ ra sơ đồ và xác lập trương trình.
Vả lại, tình hình thông thường nhất, ít nhất là cho đến thời đại của chúng ta, là tình hình của qui tắc gọi là modus ponens: “nếu p thì q; đã p, vậy thì q”, quy tắc hoàn toàn hình thức và trống rỗng bởi vì chẳng cho biết gì về chính cái cốt lõi của sự chứng minh, cụ thể là lí do của “nếu, thì”, có tính chất riêng cho mỗi bước chứng minh và tùy thuộc tài năng sáng tạo của nhà toán học. Một biến thể, gọi là chứng minh bằng phản chứng, tuy vậy vẫn đáng được bình luận ít nhiều. Một sơ đồ có thể có của nó là: “từ a, chứng minh được b do không-b đã được chứng minh”(hoặc chứng minh) vậy thì không- a đã được chứng minh”. Tính hợp thức của bước đi như thế là tùy thuộc chặt chẽ vào nguyên tắc gọi là luật bài trung: một mệnh đề hoặc là đúng, hoặc sai, nếu nó không đúng thì nó sai và nếu nó không sai thì nó đúng.
Trong mọi lĩnh vực ở đó các mệnh đề có một ý nghĩa rất xác định, nguyên tắc này, xem ra phải được thừa nhận khi chúng ta xem xét các khách thể của một tập hợp hữu hạn, mà do đó, người ta có thể về nguyên tắc, khảo sát triệt để, và ghi nhận sự có mặt hay vắng mặt của đặc tính mà mệnh đề nêu lên. Nếu tập hợp ấy không phải là hữu hạn thì tình hình sẽ khác. Các nhà logic toán học gọi là “trực cảm” (Braoer, Heyting), khi đẩy đến cùng cực yêu cầu phải xác minh các mệnh đề toán học, không chịu vận dụng luật bài trung. Từ chỗ người ta đã chứng minh rằng nói chung, mọi x (trong một tập hợp không hữu hạn) có đặc tính f (4) là sai, họ sẽ không chịu kết luận rằng có một x không có đặc tính ấy nghĩa là sự tồn tại của một x như thế cần phải được xác nhận trên thực tế. Điều cần thiết là lý thuyết phải cho phép trình ra một x như thế. Ở đây, chúng tôi đã không phát triển luận chứng và các kết quả của một yêu cầu như vậy. Chúng tôi chỉ nói rằng nó dẫn đến việc xây dựng lại một toán học khác với toán học cổ điển về những mặt quan trọng và cơ bản. Nó tách ra chẳng hạn, đối với hai số thực, các đặc tính là số này khác hẳn số kia trong bất đẳng thức đơn giản và về “sự tách rời”, và tạo nên những trường hợp trong đó một số là khác 0 (lúc này xem nó bằng 0 là mâu thuẫn), tuy vậy, vẫn không có thể chứng minh rằng nó là “tách rời” khỏi số kia, một đặc tính mạnh hơn đòi hỏi những ghi nhận thực sự về các bước phát triển của nó.
3. Nhưng chúng tôi muốn nhấn mạnh nhiều hơn về quan niệm tổng thể về tính hợp phức toán học, là cái gắn liền với thuyết trực giác.
Vấn đề đặt ra bây giờ liên quan đến khả năng chứng minh tính không mâu thuẫn của một lâu đài toán học, đối với thuyết trực giác, vấn đề đó không thực sự đặt ra. Toán học, như thuyết này xây dựng, theo cách nói của Heytinh, là “một hoạt động hơn là một lý thuyết”. Bằng cách bảo đảm cho mình, ở mỗi một bước, khả năng trình ra các khách thể, có thể là nó chứng minh được chuyển động trong lúc đi. Nhưng các ngành khoa học được xây dựng lại, như ta vừa thấy, lại không trùng hợp nữa với ngành toán học mà phần lớn các nhà bác học đã thực hành từ bao nhiêu thế kỷ nay. Vấn đề thực sự được đặt ra chính là trên một quan điểm khác. Hilbert cùng với Ackermann (năm 1935-1939) đề nghị lấy làm lí thuyết xây dựng vô điều kiện một phần hạn chế và rất trực cảm của số học, và sử dụng nó làm cộng cụ “siêu toán học” để chỉ rõ tính không mâu thuẫn của toàn bộ lâu đài cổ điển. Lúc này, ông xem các biểu ngôn của ngành khoa học này là những sự xếp đặt các “dấu hiệu cụ thể” mà các phép tính để xác minh sẽ nhằm vào, những phép tính này Hilbert cũng đòi hỏi phải là “hữu đoạn luận” và có thực. Như thế ông nghĩ là có thể hợp pháp hóa một cách gián tiếp các lý thuyết của Cantor về các số vô hạn thuộc nhiều loại khác nhau mà đối tượng được ông gọi là “lý tưởng” bởi vì thoát khỏi một sự xem xét trực tiếp thỏa mãn các yêu cầu về siêu toán học của ông.
Người ta thấy rằng động cơ của “chủ nghĩa hình thức” (5) Hinbert, cũng như của “chủ nghĩa trực giác” (6) Braoer là xác lập sự chắc chắn về tính không mâu thuẫn của toán học, tin chắc rằng các bước đi của mình không bao giờ dẫn đến việc đồng thời đặt ra một mệnh đề và sự phủ định của nó, hay nói theo kiểu số học, rằng 1 <> 1 (1 khác 1). Nhưng ý đồ của Braoer đưa đến kết quả là thay đổi bản chất của chính ngành khoa học nhằm đạt tới, và ý đồ của Hilbert vấp phải chứng minh mà Godel thực hiện đúng theo tinh thần của Hilbert cho thấy rằng sự chứng minh tính không mâu thuẫn của số học là không được (1932).
Sự chứng minh trừu tượng tính hợp thức tổng quát của toán học bằng cách sử dụng bản thân toán học như vậy xem ra là một bài toán không giải được, hoặc đặt không đúng. Trước đó Frege rồi đến Russell, với cùng một mục đích, đã tìm cách xây dựng toán học dựa trên những khái niệm của logic học thuần túy: phép tính mệnh đề (cái này thì có thể chứng minh là không mâu thuẫn, có tính chất chọn vẹn và có thể giải quyết được: mọi mệnh đề được xác minh là đúng dựa trên một cách thực hiện hoặc mô hình là có thể chứng minh được bằng một thuật toán bao giờ cũng có kết quả trong hệ thống), phép tính vị từ (cũng không mâu thuẫn và trọn vẹn, mà không tồn tại một thuật toán chung để chứng minh mọi mệnh đề được xác minh trong một mô hình). Nhưng sự phát hiện ra các nghịch lý của lý thuyết tập hợp của bản thân Russell (7), rồi sau đó của các nhà logic khác đã làm sụp đổ hy vọng đó. Như vậy là, cho đến khi có được thông tin đầy đủ hơn, người ta phải bằng lòng với những sự tin chắc “cục bộ” về tính không mâu thuẫn của các định lý của toán học, và với sự ghi nhận rằng trong quá trình lịch sử của nó, khả năng sản sinh của các lập luận của nó không bao giờ bị phủ định. Chúng ta sẽ nhắc lại rằng ý nghĩa của tính vững chắc của ngành khoa học này tùy thuộc vào sự tương liên, không hoàn hảo nhưng hoàn toàn hiển minh, giữa các đối tượng nó tạo ra với những hệ thống thao tác mà nó đề xuất. Như vậy là nó vẫn tiếp tục cung cấp cho các khoa học khác một hệ hình chặt chẽ, mặc dầu người ta vẫn biết rằng tính chặt chẽ bao giờ cũng là tương đối và cơ sở tuyệt đối không bao giờ đạt tới.
1. Biểu ngôn: có thể hiểu tương đương với “mệnh đề”.
2. Giả thuyết Riemann: được Riemann đưa ra năm 1559. Xét hàm zeta z(s) = {tổng (từ 1 -> vô cực) của 1/(n mũ s)} với biến phức s và Re(s) > 1 (còn với giá trị s tùy ý, z(s) được xác định bằng thác triển giải tích). Riemann đã đưa ra giả thuyết rằng tất cả các không điểm không tầm thường (nontrivial) của hàm zeta đều nằm trên mặt phẳng phức s = ½. (có thể tham khảo thêm tại http://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html.
3. Định lý bốn màu: Định lý khẳng định để tô màu bản đồ (sao cho hai nước liền nhau thì có hai màu khác nhau) chỉ cần đến 4 màu. Tuy nhiên “định lý” này lại chưa được chứng minh chặt chẽ bằng toán học mà phải cần đến sự trợ giúp của máy tính điện tử.
4. Chẳng hạn, bằng một lập luận kiểu truy toán, người ta giả định các khách thể aj được đánh số; người ta xác định rằng f(an) và nếu f(aj) —> f(aj +1) thì f(ai) là đúng với mọi chỉ số i > n (chú thích của tác giả).
5. Chủ nghĩa hình thức: những người theo chủ nghĩa này quy toán học về việc xây dựng các tiên đề và quy chứng minh tính không mâu thuẫn trong toán học về tính không mâu thuẫn của các hệ tiên đề.
6. Chủ nghĩa trực giác: đối lập với chủ nghĩa hình thức, chủ nghĩa trực giác cho rằng nguồn gốc của toán học là trực giác, và tồn tại trong toán học có nghĩa là phải “dựng được”. Chủ nghĩa trực giác chỉ trích gay gắt luật bài trung của logic học. Theo luật bài trung thì A và không-A không thể cùng đúng hoặc cùng sai, nghĩa là A V không-A bao giờ cũng tồn tại; nhưng chủ nghĩa trực giác bảo rằng nếu A và không-A đều chưa được chứng minh (chẳng hạn nhiều giả thuyết trong toán học chưa được chứng minh) thì luật bài trung chẳng đem lại cho ta kết quả gì.
7. Nghịch lý Russell: Nghịch lý này được phát biểu bằng rất nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, một người thợ cạo phải cạo cho tất cả những người trong làng không tự cạo được, thế thì anh ta có tự cạo cho mình không? Bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, ta có thể hiểu nghịch lý Russell thế này: Gọi R là tập tất cả những tập hợp không là phần tử của chính nó (R = {x: x !( x }). Thế thì R thuộc R hay không thuộc R? (theo diendantoanhoc)