I. Toán học nghiên cứu gì ?
Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức không gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
Những khái niệm liên quan:
a. Ngành khoa học:
• Trong thế giới thực có các sự vật, hiện tượng khác nhau. Khoa học là xây dựng hiểu biết về bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó tìm kiếm quy luật vận động chi phối các hiện tượng tự nhiên, xã hội, tư duy. Để sản xuất ra tri thức là hiểu biết có hệ thống đó cần có hoạt động gọi là Nghiên cứu khoa học.
• Mỗi ngành khoa học sẽ coi đối tượng nghiên cứu của mình là một phần nào đó của sự vật, hiện tượng. Có ngành khoa học thì đối tượng là tư nhiên, cái thì đối tượng là xã hội, cái thì là con người…
b. Toán học chỉ nghiên cứu hai mặt sau của sự vật, hiện tượng thực tế:
• những quan hệ định lượng giữa sự vật hiện tượng này với sự vật, hiện tượng khác
• khám phá bản chất của các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng
c. Có nghĩa là đối tượng nghiên cứu lại không là trọn vẹn , đầy đủ về bất cứ 1 loại hiện tượng, sự vật cụ thể nào (như ở các khoa học khác), mà chỉ nghiên cứu phần “những quan hệ định lượng” và “mặt hình thức không gian” của “mọi hiện tượng, sự vật”.
d. Tuy thế, nó lại có vai trò then chốt, quan trọng tạo cơ sở công cụ cho các ngành khoa học khác xây dựng nên tri thức ngành mình. Toán học đóng vai trò là phương pháp luận khoa học, chung cho mọi ngành khoa học mà nghiên cứu những đối tượng, hiện tượng khác nhau của thực tiễn.
• Toán học ngày một hình thành nên những khái niệm, quy luật mới phản ánh sâu sắc hơn bản chất quan hệ số lượng và cấu trúc của hiện thực. Vì thế toán học ngày càng phục vụ hiệu quả hơn trong hoạt động thực tiễn.
– Trong thực nghiệm toán học: đo đạc và tính toán chính xác hơn trong mọi ngành khoa học.
– Trong sản xuất: ngày càng hoàn thiện tính toán, tự động hoá và giảm đi 1 phần lao động trí óc con người nhờ máy tính tự động.
2. Nhà Toán học đưa ra quy luật của mình bằng cách nào?
• Để hình thành nên các khái niệm, phạm trù, lý thuyết chuyên biệt (tức là các tri thức cụ thể về một lĩnh vực hiện thực nào đó) các ngành khoa học đều thực hiện các thao tác phổ biến như: tách bỏ, cắt xén, cô lập hoá…. hiện thực sống động, tức là chỉ tập trung vào các mối liên hệ và quan hệ chủ yếu mà mỗi ngành khoa học quan tâm.
• Toán học không ngoại lệ. Như vậy là bên trong toán học quá trình phản ánh quy luật và quan hệ số lượng và cấu trúc của hiện thực thông qua trừu tượng hoá ngày càng thay đổi về chất gần với chân lý hơn.
• Phương pháp đưa ra quy luật của Toán học như sau:
A. Toán học khi tách bỏ mọi nội dung, chất liệu cụ thể của sự vật, quá trình chỉ giữ lại các quan hệ số lượng và hình dạng không quan dưới dạng tổng quát.
Ví dụ, khái niệm con số và hình dạng. Cuối thế kỷ 19, toán học tách bỏ cả đặc điểm số và hình của đối tượng, nghiên cứu chỉ trên các phần tử (đối tượng) có bản chất tuỳ ý, miễn sao thoả mãn 1 số quan hệ nhất định. Nó đi sâu vào bản chất và khái quát hoá hơn là quan hệ số lượng và không gian hiện thực.
Trong khi đó thì các khoa học khác khi trừu tượng hoá vẫn thường giữ lại ở một mức độ nhất định chất liệu, nội dung cụ thể của sự vật, hiện tượng. Cũng vì thế mà các khái niệm toán học có độ tự do và phổ biến hơn không phụ thuộc vào đặc điểm đối tượng áp dụng. Cho nên các khái niệm toán học có khả năng gợi mở, vượt trước hơn nhiều khoa học khác.
B. Toán học thực hiện sự trừu tượng liên tiếp từ những trừu tượng đã có trước, theo 2 cách đặc biệt sau đây:
– Cách 1: xây dựng trừu tượng mới từ trừu tượng cũ. Đặc trưng chủ yếu của cách làm này là xây dựng dần tính chất mới, khái quát hoá và bao hàm tính chất cũ.
Ví dụ, sự hình thành khái niệm số thực trải qua 5 bậc trừu tượng: số nguyên, phân số, số hữu tỷ, số vô tỷ.
– Cách 2: tổng hợp các trừu tượng đã có thành khái niệm trừu tượng hơn. Ưu điểm của cách này là tách bỏ tính chất riêng lẻ, không cơ bản của các khái niệm, lý thuyết khác nhau, vạch ra tính chất cơ bản, chung giữa chúng để hình thành các khái niệm thống nhất, phổ biến hơn. Quá trình này tạo ra cái cụ thể trong tư duy tức tri thức cụ thể về các quan hệ số lượng và không gian hiện thực.
Ví dụ, sự hình thành môn hình học giải tích được tổng hợp từ hai bộ môn riêng lẻ là hình học và đại số.
C. Toán học thực hiện trừu tượng hoá thông qua lý tưởng hoá.
Lý tưởng hoá là phép trừu tượng hoá đặc biệt, xây dựng đối tượng tưởng tượng chỉ gần giống với khách thể. Thậm chí, lý tưởng hoá còn cho phép chủ thể nhận thức gán cho đối tượng hay mô hình đang nghiên cứu những tính chất không có trong hiện thực.
Ví dụ khái niệm điểm, khái niệm số ảo…
Nó đem đến những ưu điểm sau:
– Đặc trưng định lượng của nó được xác định với độ chính xác cao nhất. Ví dụ điểm, đường thẳng…
– Tạo điều kiện trực tiếp để liên hệ, tác động qua lại giữa 2 tập hợp khác nhau bằng quan niệm ánh xạ. Ví dụ, tập số ánh xạ với tập điểm.
– Việc gán hay đưa thêm tính chất mới vào đối tượng hay mô hình đang nghiên cứu không phải thực hiện 1 cách tuỳ tiện. Nó dựa vào tính chất đã có, nguyên tắc tương ứng và lôgic (không làm nảy sinh mâu thuẫn ).
Quá trình trừu tượng hoá-lý tưởng hoá, độ tự do và việc gán tính chất mới vào đối tượng làm cho nó có thể thay thế, sửa đổi, đối sánh các tham số, các đặc điểm, tính chất với nhau nhằm mục đích khái quát để dịch chuyển tri thức từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác, tạo nên hiệu quả khoa học cho toán học.
Trình độ cái trừu tượng, cái cụ thể, cái riêng (đại số, hình học), được nâng lên trình độ mới cao hơn về nội dung lẫn hình thức. Cái cụ thể ở bậc trừu tượng cao hơn là sự tổng hợp nhiều trừu tượng riêng lẻ ở bậc thấp hơn, là sự tái tạo cái cụ thể hiện thực trong tư duy, là sự thống nhất của cái đa dạng và phức tạp về các quan hệ số lượng và cấu trúc của thế giới hiện thực.
3. Toán học có đi xa rời thực tế không?
Từ xa xưa đã có nhiều quan điểm khác nhau như sau:
Quan điểm 1. Quan điểm coi những khái niệm, quy luật của toán học là những điều ghi chép, phản ánh thu được từ sự trừu tượng hoá những sự vật cụ thể và những tính chất của chúng. Đó chính là sản phẩm của sự sáng tạo của tư duy và những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhận thức của con người.
Quan điểm 2. Quan điểm coi toán học mang bản chất riêng, độc lập với thế giới hiện thực.
Về tổng thể thì bất kỳ hệ thống điều khiển nào có cấp độ phản ánh thế giới theo cấp tiến hoá của hệ thống đó. Con người là hệ thống có cấp độ phản ánh thực tại cao nhất là tư duy. Sản phẩm và vật liệu để con người tư duy là khái niệm. Khái niệm có được thông qua nhiều loại thao tác tư duy khác nhau, đặc biệt là Khái quát hoá và Trừu tượng hoá. Để đảm bảo cho việc phản ánh thế giới thực khách quan nhất con người mới sinh ra hoạt động Khoa học của mình, đảm bảo hiểu đúng, sâu sắc mọi mặt của thế giới thực, kiến thức có kiểm chứng.
Khái niệm “phản ánh” giúp ta hiểu là có cầu nối từ ~ gì ta tư duy với thế giới thực. Rồi con người lại nghiên cứu về cách con người trừu tượng hoá thế giới nữa. Vậy là xuất hiện thêm 1 đối tượng nghiên cứu cũng “khách quan” cả thôi, nhưng không còn chỉ là “thế giới thực“ mà không có chúng ta nữa, mà chính xác là về thế giới trong hệ thống điều khiển của chúng ta (còn thế giới thực thì ở sau sự phản ánh đó như background). Tất nhiên, nghi ngờ rằng chúng ta chẳng bao giờ hiểu đúng thực tế “thế giới” khách quan luôn ám ảnh.
Nếu chúng ta có niềm tin vào khoa học thì chính Quan điểm số 1 là hợp lý và cũng lại là định hướng đúng đắn cho ngành Toán học.
A. Toán học bắt nguồn từ thực tế
Vì Toán học nghiên cứu về các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng; những quan hệ định lượng khác nhau của sự vật, hiện tượng trong thế giới thực nên những khái niệm hình dáng, số lượng đầu tiên của Toán học không thể rút ra từ đâu khác mà chỉ từ thế giới thực, qua thực tiễn cân đong, đo đếm…
1. Khái niệm số, đại lượng là kết quả của sự trừu tượng hoá 1 số tính chất của các nhóm đối tượng cụ thể và ngược lại, nó có thể dùng làm công cụ tính toán.
2. Hình dạng, kích thước là những khái niệm trừu xuất khỏi những đặc điểm về chất lượng của đối tượng được so sánh.
Về sau các nhà toán học tiến hành hàng loạt phép trừu tượng hoá. Ta phân biệt phép trừu tượng toán học với phép trừu tượng của các khoa học khác là ở chỗ toán học có trừu tượng kế tiếp nhau (trừu tượng của trừu tượng). Chính vì thế từ những khái niệm trừu tượng đầu tiên của toán học chúng ta đã sử dụng chúng để xây dựng những khái niệm khác, ngày 1 trừu tượng hơn: Không gian 3 chiều -> không gian N chiều, số tự nhiên -> số hữu tỉ -> số thực -> số phức (với việc dùng số ảo); hình học Ơclit -> hình học Lôbasepxki -> hình học Rioman…
B. Có nghi ngờ rằng Toán học sẽ xa rời dần thực tế.
Thực ra, dù trừu tượng đến đâu thì toán học vẫn là sản phẩm của tư duy, kết quả của sự phản ánh hiện thực tích cực, sáng tạo của con người. Thông qua những hình thức trừu tượng mà tư duy con người phản ánh thế giới đầy đủ hơn, sâu sắc hơn.
Và như vậy thao tác trừu tượng ở đây nâng lên 1 cấp độ mới chỉ quan tâm đến Quan hệ và Hình thức.
• Cấp 1 là từ quan hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng riêng lẻ —> quan hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng bất kỳ (khái niệm toán học)
• Cấp 2 là từ quan hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng bất kỳ —> khái niệm toán học trừu tượng hơn.
Việc trừu tượng hoá liên tiếp khái niệm toán học không làm mất đi bản chất gốc của chúng mà chỉ là những khám phá bản chất hơn phục vụ tìm những quy luật chính xác, đúng đắn hơn. Trong việc trừu tượng hoá liên tiếp, việc phát hiện ~ quan hệ gì, hình thức không gian như thế nào tất nhiên là có sự sáng tạo của con người. Tất cả là cách thức phản ánh độc đáo của hệ điều khiển con người mà. Có nét riêng của mình nhưng cũng luôn nhằm đích phản ánh ngày một sâu sắc hơn, bản chất hơn và chân lý hơn.
Minh Bùi