Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2011-2012 – Thầy Đồ – Dạy toán

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM 2011-2012
BẢNG A

Câu 1. (6 điểm)
1. Giải phương trình sau:
$2(x-2)(\sqrt{3}{x+5}+2\sqrt{2x-5})=3x-1$ với mọi x∈R
2. Giải bất phương trình
$x^3-3x^2+2\sqrt{(x+2)^3}-6x \geq 0$ . với mọi x∈R

Câu 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
$\left\{\begin{matrix}{x^3-12x-y^3+6y^2-15=0}\\ {4x^2+2\sqrt{4-x^2}-5\sqrt{4y-y^2}+m=0}\end{matrix}}$

Câu 3 (2,5 điểm)
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

Câu 4 (6 điểm)

Cho tứ diện ABCD có AB=CD,AC=BD,AD=BC. Chứng minh rằng khoảng cách từ trọng tâm của tứ diện ABCD đến các mặt phẳng (ABC),(BCD),(CDA),(DAB) bằng nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thoi cạnh 2a;SA=SB=SC=2a. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD. Chứng minh: $V\leq 2a^3$

Câu 5 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ©: $(x−1)^2+(y−1)^2=25$
và các điểm A(7;9);B(0;8). Tìm tọa độ điểm M thuộc © sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất.