Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm đa thức bậc ba

Xét sự biến thiên của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$.

Giải:

Tập xác định: $D = mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x$. Cho $y’ = 0 Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Bảng biến thiên:

      x      | -∞     0      2      +∞
    -------------------------------------
      y'     |   +    0   -   0    +
    -------------------------------------
             |       2            +∞
      y      |      ↗      ↘      ↗
             |    -∞           -2
    

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty; 0)$ và $(2; +infty)$, nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

Ví dụ 2: Hàm đa thức bậc bốn trùng phương

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$.

Giải:

Tập xác định: $D = mathbb{R}$.

$y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1)$. Cho $y’ = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = pm 1$.

Bảng biến thiên:

      x      | -∞    -1     0     1     +∞
    -----------------------------------------
      y'     |   +    0   -   0   +   0    -
    -----------------------------------------
             |       2           2
      y      |      ↗     ↘     ↗     ↘
             |    -∞          1          -∞
    

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty; -1)$ và $(0; 1)$, nghịch biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +infty)$.

Ví dụ 3: Hàm phân thức hữu tỉ

Xét tính đơn điệu của hàm số $y = frac{2x – 1}{x + 1}$.

Giải:

Tập xác định: $D = mathbb{R} setminus {-1}$.

$y’ = frac{2(x + 1) – (2x – 1)}{(x + 1)^2} = frac{3}{(x + 1)^2} > 0, forall x in D$.

Vì $y’ > 0$ trên từng khoảng xác định nên hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty; -1)$ và $(-1; +infty)$.

Ví dụ 4: Hàm số chứa căn thức

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = sqrt{4 – x^2}$.

Giải:

Tập xác định: $D = [-2; 2]$.

$y’ = frac{-2x}{2sqrt{4 – x^2}} = frac{-x}{sqrt{4 – x^2}}$. Cho $y’ = 0 Leftrightarrow x = 0$.

Bảng biến thiên:

      x      | -2     0      2
    ---------------------------------
      y'     |   +    0   -
    ---------------------------------
             |       2
      y      |      ↗      ↘
             |    0           0
    

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

Ví dụ 5: Tìm tham số m

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x – m^2 + 1$ đồng biến trên $mathbb{R}$.

Giải:

Tập xác định: $D = mathbb{R}$.

$y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1)$.

Để hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ thì $y’ ge 0, forall x in mathbb{R}$.

Điều này tương đương với $Delta’ = (3m)^2 – 3 cdot 3(m^2 – 1) le 0$.

$Leftrightarrow 9m^2 – 9(m^2 – 1) le 0 Leftrightarrow 9 le 0$ (Vô lý).

Tuy nhiên, ta xét trường hợp $y’ = 0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. $Delta’ = 9m^2 – 9(m^2 – 1) = 9 > 0$. Do đó, $y’$ luôn có 2 nghiệm phân biệt, không thể luôn không âm. Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên R.

Sửa đề: Tìm m để hàm số $y=frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m+2)x -1$ đồng biến trên $mathbb{R}$

$y’ = x^2 – 2mx + m + 2$. Để hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ thì $y’ ge 0$ với mọi $x$.

Điều này xảy ra khi $Delta’ = m^2 – (m+2) le 0 Leftrightarrow m^2 – m – 2 le 0 Leftrightarrow (m-2)(m+1) le 0 Leftrightarrow -1 le m le 2$.